materiali – Progettazione Architettura

Resistenza dei Materiali 1

La resistenza alla flessione

Si conoscono già alcune nozioni sulla resistenza alla trazione e sulla resistenza alla compressione. Si è infatti già considerato il caso di una forza P che agisce normalmente alla sezione di un corpo a forma di asta, nella direzione dell’asse di tale asta. Si tratta quindi, in tal caso, di un semplice sforzo di trazione o di compressione. Si è visto che cosa si intenda per flessione, e si è certamente notato quale sia la differenza fra uno sforzo di flessione ed uno sforzo semplice di trazione o di compressione: nel caso di un corpo sollecitato a flessione le forze non agiscono nella direzione dell’asse dell’asta considerata, come succede nel caso della semplice trazione o compressione, ma agiscono, per lo più, perpendicolarmente a tale asse; ciò risulta evidente nell’esempio del trampolino più volte citato.

Qui di seguito si continuerà a trattare ancora dei carichi che producono una flessione sui corpi. Nella fig. (*) è rappresentata una trave sollecitata a flessione. Si tratta di una trave incastrata ad una estremità, sull’altra estremità libera della quale è appeso un carico P. In realtà, le travi a sbalzo non vengono piegate così fortemente come è stato rappresentato nella figura, nel disegno è stata accentuata la deformazione solo per rendere più chiaro come si deforma una trave sollecitata alla flessione. In questa figura si nota che, per effetto della incurvatura della trave, il suo bordo superiore si allunga, mentre quello inferiore si accorcia. (Ciò risulta molto evidente anche se si prende, ad esempio, un pezzo di tubo di gomma e lo si piega ad anello). Una retta centrale, cioè l’asse della trave, non subisce invece alcuna variazione di lunghezza. Tale linea si chiama quindi “asse neutro”, perché non viene né allungata, né accorciata; si comporta cioè, in confronto alle linee disposte sui bordi inferiore e superiore della trave, in modo neutro: Le zone di materiale disposte secondo un asse centrale o lungo rette parallele ad esso, in punti qualsiasi della sezione della trave, si dicono anche “fibre” del materiale, per l’analogia con la struttura fibrosa del legno. Come può facilmente immaginare, la fibra neutra non è, in realtà, costituita da una fibra sola, ma da uno strato di fibre disposte su un piano, strato che, nella sezione longitudinale della trave, è rappresentato in figura da una linea a tratti e punti. Si è già visto che, quando il materiale subisce degli allungamenti, esso è sottoposto a sollecitazioni di trazione, mentre quando subisce degli accorciamenti è sottoposto a sollecitazioni di compressione. Nella trave incurvata si vede che sul lato superiore si ha un allungamento e sul lato inferiore un accorciamento. Perciò su tali due lati si avranno rispettivamente delle sollecitazioni di trazione e delle sollecitazioni di compressione. Mentre quindi nel caso del semplice carico di trazione, le tensioni nel materiale sono uniformemente distribuite sull’intera sezione, cosicché tutte le fibre sono sottoposte alla stessa sollecitazione di trazione, e quindi anche i loro allungamenti sono uguali, nel caso della flessione, le fibre più al di sopra dell’asse neutro di una trave incurvata verso il basso sono allungate al massimo, cioè subiscono la maggiore sollecitazione di trazione. Le fibre intermedie fra quelle disposte sul lato esterno superiore e lo strato di fibre neutre vengono pure allungate, ma meno di quelle disposte sulla superficie esterna, e ciò perché la sollecitazione di trazione diminuisce man mano che si procede dalla superficie esterna superiore al centro della trave. In modo analogo, le fibre disposte sul lato esterno inferiore della barra si accorciano più delle altre, e subiscono quindi una sollecitazione di compressione maggiore. Nelle fibre superiori più lontane dall’asse neutro agisce quindi la massima sollecitazione di trazione, mentre nelle fibre inferiori più lontane dall’asse neutro agisce la massima sollecitazione di compressione. Nelle fibre disposte in corrispondenza dell’asse neutro non si ha alcuna variazione di lunghezza e quindi nessuna sollecitazione; fra l’asse neutro e le fibre esterne superiori ed inferiori le sollecitazioni aumentano uniformemente da 0 fino ad un valore massimo. Ciò è rappresentato in modo molto chiaro nella fig. (*). In tale figura, a partire dal segmento g, che rappresenta la vista di fianco di una sezione della trave, vengono riportati normalmente, in tutti i punti, dei segmenti proporzionali alle sollecitazioni di trazione e di compressione che si hanno nei punti stessi.

È evidente la ragione per cui i segmenti rappresentanti sollecitazioni di trazione sono stati riportati dalla parte opposta a quella dove sono stati riportati i segmenti che rappresentano le sollecitazioni di compressione, poiché i due tipi di sollecitazione agiscono in senso contrario. In tal modo sono si sono disegnati i due triangoli tratteggiati con delle frecce che si toccano nel vertice sull’asse neutro. Da questi triangoli si rileva chiaramente che le sollecitazioni sono massime ai bordi inferiore e superiore e che esse diminuiscono uniformemente procedendo verso l’asse neutro, dove non si ha alcuna sollecitazione. I due triangoli costituiscono il cosiddetto “diagramma delle sollecitazioni”. Nelle travi con sezione rettangolare o di qualsiasi altra forma simmetrica ad un asse centrale di mezzeria; l’asse neutro coincide con l’asse di simmetria o di mezzeria della trave. In questo caso la massima sollecitazione di compressione e la massima sollecitazione di trazione sono uguali fra di loro in valore assoluto, come è rappresentato nella fig. (*). Le sollecitazioni massime nelle fibre esterne vengono indicate con σ’, e sono chiamate “sollecitazioni di flessione”, perché sono dovute ad una flessione. La grandezza di queste sollecitazioni di flessione si trova con una formula del tutto simile a quella che dà le sollecitazioni di trazione e di compressione. Essa è precisamente:

Nota: Le sollecitazioni unitarie sono di solito espresse in kg/cm², kg/mm²o in kN/cm², kN/mm². Si usa prevalentemente l’unità di misura kg/cm² quando si tratta di una sollecitazione in materiali come il cemento armato, legno, le murature, ecc., mentre quando si tratta di sollecitazioni in materiali metallici, come l’acciaio, la ghisa, l’alluminio, il bronzo, ecc., si usa prevalentemente l’unità kg/mm²o in kN/mm². La differenza in confronto alla formula σ = P/A consiste solo in questo: invece del carico P si ha il momento flettente M. Invece dell’area A della sezione che compare nella formula, si ha una grandezza W detta “momento resistente”, di cui si spiega subito il significato. Dalla esperienza pratica si sa certamente che una asta di sezione rettangolare (ad es., una tavola di legno, un ferro piatto, ecc.) si piega molto di più se viene disposta orizzontalmente, applicando il carico normalmente alla superficie laterale più larga, che non nel caso che essa venga disposta di costa, pure essendo sollecitata con lo stesso carico, ma sulla superficie laterale più stretta fig. (*).

Quando è disposta di costa, l’asta ha una rigidità molto maggiore e presenta al carico di flessione una maggiore resistenza, che non quando è disposta di piatto. Poiché in entrambi i casi l’area della sezione è la stessa, la differenza della capacità portante dipende solo dalla differenza fra le altezze dell’asta in direzione del carico. Ne deriva che l’altezza di una asta (misurata in direzione del carico) contribuisce molto di più alla resistenza alla flessione che la larghezza dell’asta stessa. Poiché il momento resistente (il termine “momento resistente” ha presso a poco lo stesso significato, di “grandezza della resistenza”) deve esprimere la grandezza della resistenza alla flessione, esso deve dipendere pure in maggiore misura dall’altezza della trave che non dalla larghezza. Il momento resistente di una sezione rettangolare è ad esempio:

Si noti che nel prodotto che costituisce il numeratore della frazione, la larghezza compare come fattore una volta sola, mentre l’altezza compare due volte. Perché? Dall’esempio dell’asta rettangolare si sa che la grandezza della resistenza alla flessione dipende in maggior misura dall’altezza che non dalla larghezza dell’asta. Per ora non è necessario ricercare come questa formula sia stata derivata, e perché ad esempio, nel denominatore compaia il numero 6. Si daranno in seguito sul momento resistente delle spiegazioni più precise. Per ora è sufficiente tenere presente la formula che dà il momento resistente di una sezione rettangolare. In tale formula la larghezza della sezione sarà indicata in modo abbreviato con la lettera b, e l’altezza con la lettera h, cosicché, la formula, che è stata già esposta esprimendo per esteso larghezza ed altezza, diventerà la seguente:

L’origine dell’unità di misura cm³ in questa formula è chiara: si nota infatti nel numeratore della formula il prodotto di tre lunghezze; moltiplicando fra di loro tre lunghezze, espresse in cm, il prodotto sarà misurato da un’unità (cm · cm · cm), che è precisamente cm³ (si legge: “cm al cubo” o “cm alla terza”; non si deve dire cioè, in questo caso, “centimetri cubi”!). A questo punto si è visto dunque come si calcola il momento resistente W di una sezione rettangolare. Sul calcolo dei momenti flettenti M, sono stati già fatti diversi esempi, per cui ora si è in grado, mediante la formula M / W di calcolare anche le sollecitazioni di flessione σ’; con questa formula si ottiene precisamente la grandezza delle sollecitazioni ai bordi superiore e inferiore, cioè le sollecitazioni massime che si hanno nella sezione. Sono precisamente queste sollecitazioni massime che interessano, perché bisogna infatti calcolare le dimensioni degli elementi delle strutture in modo, che essi resistano alle massime sollecitazioni a cui possono essere sottoposti, senza rompersi. La formula σ’ = M / W che dà la sollecitazione per flessione, si può scrivere anche nella forma seguente; questa si impiega quando si deve trovare il momento resistente e sono dati il momento flettente e la sollecitazione unitaria ammessa:

Si impiegherà invece la formula nella forma seguente, quando si deve trovare il momento flettente e sono dati la sollecitazione unitaria ed il momento resistente:

Si esegue ora qualche esempio sul calcolo delle sollecitazioni unitarie di flessione: Nella figura (*) seguente è rappresentata una asta di acciaio; la sua sezione rettangolare ha una larghezza b = 30 mm ed una altezza h = 40 mm. Questa asta è incastrata con la sua estremità sinistra in un muro, dal quale sporge a sbalzo con la sua estremità destra. Costituisce dunque una cosiddetta “trave a sbalzo” (o “mensola”).

All’estremità libera dell’asta, esattamente ad una distanza di mm 400 dall’incastro è appeso un carico P = 260 kg. La sollecitazione unitaria ammissibile per l’acciaio con cui si suppone è fabbricata l’asta è di 1400 kg/cm². Si risponda alle seguenti domande:

Dove si verifica la massima sollecitazione unitaria?

Quale è la grandezza di questa massima sollecitazione unitaria?

Le dimensioni dell’asta sono sufficienti per sopportare il carico?

Le risposte a queste domante possono essere ottenute con dei semplicissimi ragionamenti. L’asta incastrata è sollecitata alla flessione dal carico appeso alla sua estremità. Per il calcolo va quindi impiegata una delle formule espresse prima. Poiché si deve trovare la grandezza della sollecitazione unitaria, si impiegherà la formula

Si deve però prima calcolare il momento flettente M ed il momento resistente W. Per quale sezione si deve calcolare il momento flettente? Evidentemente si calcola il momento flettente che si ha nella sezione più pericolosa. Nelle travi a sbalzo, come già si è visto, la sezione più pericolosa si ha all’incastro; in tale sezione il momento flettente è massimo ed in essa si verificano perciò le massime sollecitazioni unitarie. Quindi ci si occupa solo della sezione di incastro, cioè dove la trave penetra nel muro; se in tale sezione l’asta resiste essa resisterà anche in tutte le altre sezioni. In questo modo si è data la risposto alla prima domanda dell’esempio. Si calcola ora il momento flettente nella sezione di incastro detto brevemente “momento flettente di incastro”. Poiché le sollecitazioni unitarie vengono espresse in kg/cm² nei calcoli si deve esprimere il carico in kg e tutte le lunghezze in cm. Quindi si ha che P = 260 kg e che la distanza “a” del carico dalla sezione di incastro è di cm 40. Pertanto sostituendo

Il momento resistente viene calcolato con la formula

In questo caso si ha che: b = 3,00 cm, e h = 4,00 cm; sarà dunque:

Si inseriscono ora questi valori di M e W nella formula:

Si è quindi in grado di rispondere anche alla seconda domanda: la massima sollecitazione unitaria è di 1300 kg/cm²; essa è inferiore allo sollecitazione unitaria ammissibile, o carico di sicurezza, che è di 1400 kg/cm². La risposta alla terza domanda è quindi affermativa: l’asta è sufficientemente robusta per portare il carico. Nell’esempio ora eseguito si è scelto, come tipo di struttura da calcolare, una asta di acciaio di sezione rettangolare. Nelle costruzione più complesse, per le strutture portanti, si usano di solito profilati laminati, la cui sezione non è di forma così semplice come quella rettangolare. I momenti resistenti dei diversi profili dei laminati saranno resi noti in seguito. La forma, rettangolare della sezione si incontra più frequentemente nelle travi di calcestruzzo armato, legno, nelle tavole, nei travetti, ecc. Quando si esegue il calcolo del momento resistente di un’asta o trave a sezione rettangolare, si deve bene osservare quale dei due lati del rettangolo ha la stessa direzione del carico e quale è perpendicolare al carico stesso. Il lato che ha la stesse direzione del carico, compare due volte come fattore del prodotto che costituisce il numeratore della formula del momento resistente W, mentre l’altro lato, perpendicolare alla direzione del carico, compare una volta sola in tale prodotto. Nella fig. (*) è disegnato un rettangolo, che rappresenta la sezione di una asta sollecitata alla flessione. In tale disegno sono tracciati anche i due assi di simmetria x-x e y-y. L’asse x-x è disposto nella stessa direzione della larghezza b e l’asse y-y nella direzione dell’altezza h.

Quando l’asta viene piegata di costa, cioè quando il carico è applicato perpendicolarmente, sul lato stretto della sezione, e agisce nella direzione y-y, le fibre, disposte e in corrispondenza dell’asse x-x, come si è precedentemente visto, non vengono sollecitate; quanto maggiore è la distanza delle altre fibre dall’asse x-x, tanto più elevate sono le sollecitazioni a cui sono sottoposte. La sollecitazione delle singole fibre dipende quindi dalla loro distanza dall’asse x-x. Nel caso invece in cui l’asta lavora di piatto, cioè con il carico applicato sul Iato largo della sezione, in direzione dell’asse x-x, le fibre non sollecitate saranno quelle disposte in corrispondenza dell’asse y-y, mentre la sollecitazione nelle altre fibre sarà tanto maggiore, quanto più distanti saranno dall’asse y-y. La distribuzione delle sollecitazioni e anche la grandezza del momento resistente sono diverse a seconda che l’esse neutro coincida con l’asse di simmetria x-x, oppure con l’asse y-y, a seconda, cioè, del lato dell’asta sul quale il carico viene applicato. Per ogni sezione rettangolare si debbono quindi considerare due diversi momenti resistenti: Uno di essi va considerato quando il carico agisce perpendicolarmente (verticalmente) all’asse x-x, e viene indicato con Wx; l’altro momento resistente va considerato quando il carico è applicato perpendicolarmente all’asse y-y e viene indicato con Wy. Poiché nelle tabelle dei profilati standard, i momenti resistenti delle relative sezioni, ed anche le altre grandezze, di cui si parlerà in seguito, vengono sempre indicati in tal modo, cioè con il riferimento ad un asse x-x, oppure ad un’asse y-y, è necessario quindi sapere precisamente quale è l’asse x-x e quale l’asse y-y in ogni singola sezione di profilato, e come è diretto il carico rispetto a tali assi. Per chiarire meglio si svolga un semplice esempio e quindi ci si chiede quali sono le grandezze dei momenti resistenti di una sezione rettangolare dove b = 10,00 cm e h = 14,00 cm ? Si conosce già che la formula del momento resistente che è:

quando la sezione è disposta di costa, cioè con il lato più lungo nella direzione del carico, vale il seguente momento resistente:

Se invece la sezione è disposta di piatto, cioè con il lato minore nella direzione del carico, si dovrà considerare il momento resistente:

Resistenza dei Materiali 2

La Resistenza alla Flessione – Momento Resistente e Momento di Inerzia

Sulla resistenza dei materiali si è già visto come si calcolano le trazioni e le compressioni unitarie in una sbarra sollecitata alla flessione. Abbiamo in quella occasione considerato solo delle travi di sezione rettangolare e non ci siamo occupati di altre forme di sezioni, come, ad esempio, sezioni circolari o a corona circolare, che frequentemente si presentano negli elementi di una struttura. Prima di proseguire nell’argomento ripetiamo brevemente quanto è già stato detto prima su tale argomento. Poiché si tratta di quelle che sono nozioni fondamentali più importanti, riguardanti la resistenza dei materiali, nozioni appunto che ogni tecnico calcolista deve assolutamente conoscere a fondo, sarebbe bene che rileggessimo quanto è stato detto prima. Pertanto, affinché possiamo facilmente seguire con continuità ulteriori spiegazioni sulla resistenza dei materiali, riprendiamo la fig. (*). In tale figura si vede rappresentata una trave a sbalzo, la quale viene tanto incurvata per effetto del carico P applicato alla sua estremità libera, che le sue fibre superiori risultano sollecitate a trazione e quelle inferiori sollecitate a compressione. Le massime sollecitazioni di trazione si verificano nello strato superiore esterno, e diminuiscono man mano che si procede verso la parte centrale della sbarra, a partire quindi da questa parte, esse si trasformano in sollecitazioni di compressione, che raggiungono il loro massimo valore nello strato di fibre inferiore esterno.

A metà altezza della trave deve dunque trovarsi uno strato di fibre che non sono soggette né a sollecitazioni di trazione, né a sollecitazioni di compressione. In esso cioè si ha una sollecitazione σ‘ = 0. Possiamo rilevare la distribuzione delle sollecitazioni lungo la sezione della trave dal diagramma a forma di x che abbiamo disegnato nella fig. (*). In una trave di sezione rettangolare lo strato di fibre neutro è disposto esattamente al centro della trave, cioè alla distanza h/2 dalle superfici esterne superiore ed inferiore (vedi fig.**). Le sollecitazioni di compressione nello strato inferiore di fibre sono, in questo caso, di grandezza uguale in valore assoluto alle sollecitazioni di tensione, che si hanno nelle fibre dello strato, superiore; e precisamente esse hanno il valore dato dalla formula, che abbiamo ricavato nella in precedenza ovvero:

In questa formula, come già sappiamo, σ‘ è il valore assoluto della sollecitazione unitaria che si ha nelle fibre dello strato esterno (cioè la sollecitazione massima di flessione che si ha nella sezione), M è il momento flettente nella sezione considerata (il concetto di momento flettente è stato visto nei precedenti capitoli di Statica) e W è il momento resistente, che abbiamo conosciuto nel capitolo precedente di Resistenza dei Materiali. Vogliamo adesso calcolare, come esercitazione pratica, la sollecitazione di flessione che si ha in una trave piatta di acciaio incastrata ad una delle sue estremità. Nel fare questo prendiamo una trave piatta di acciaio da 20 x 30 mm è incastrata ad una sua estremità, mentre sull’altra estremità (libera) agisce una forza verticale diretta verso il basso P = 25 kg fig. (*). La trave piatta di acciaio è disposta di costa, cioè la forza agisce sul lato minore della sezione rettangolare, parallelamente al lato maggiore, come si può osservare nella sezione della trave disegnata nella fig. (*). La distanza del punto di applicazione del carico dalla sezione di incastro è di 1200 mm. Ci chiediamo dunque quale è la grandezza della massima sollecitazione di flessione che si ha nella trave piatta?

Per rispondere impieghiamo la formula:

Il Momento resistente W dipende dalla forma della sezione della trave e dalla direzione della forza, rispetto all’asse neutro della sezione stessa. Secondo la formula, il momento resistente di una sezione rettangolare è :

Nell’impiegare questa formula non dobbiamo mai dimenticare che con h si intende indicare il lato del rettangolo nella cui direzione agisce la forza, mentre con b si indica la lunghezza di quel lato che è disposto perpendicolarmente alla direzione della forza, cioè parallelamente all’asse neutro. Nel nostro caso la forza P agisce sul lato minore della sezione, cioè in direzione parallela al lato maggiore. Dobbiamo perciò porre h = 30 mm e b = 20 mm. Poiché dobbiamo ottenere la sollecitazione unitaria in kg/cm², dobbiamo usare per h e b i valori espressi in cm; otterremo quindi:

Dobbiamo ora determinare anche il momento flettente M. A questo scopo applichiamo la formula:

In questa formula a indica la distanza della forza P dalla sezione per la quale vogliamo determinare il momento flettente. Quale è tale sezione nel nostro caso? Poiché l’esempio richiede di calcolare la massima sollecitazione unitaria di flessione, dobbiamo considerare la sezione nella quale il momento flettente è massimo. Come già sappiamo, da quanto si è detto prima, il momento flettente massimo si ha sempre nella sezione di incastro. Nel nostro esempio dovremo porre perciò, al posto di a la di stanza della forza P dalla sezione di incastro, dovremo cioè porre a = 1200 mm = 120 cm, per la quale cosa risulterà:

Ne segue anche:

La massima sollecitazione che si ha nella trave piatta di acciaio è dunque 1000 kg/cm², Mentre però in una trave sollecitata alla trazione la massima sollecitazione si ha in tutti i punti della sezione minima (sezione pericolosa), nella quale dunque le sollecitazioni sono uniformemente distribuite, nella trave sollecitata alla flessione la massima sollecitazione si ha solo in due zone strettamente limitate, e precisamente, nella sezione di incastro, nelle fibre dello strato superiore esterno si ha una sollecitazione di tensione a trazione di 1000 kg/ cm² e nelle fibre dello strato inferiore esterno una sollecitazione di tensione a compressione pure di 1000 kg/cm². In tutti gli altri punti della trave la sollecitazione è minore. Nella fig. (**) possiamo vedere il diagramma ad x della distribuzione delle sollecitazioni per la sezione di incastro e per un’altra sezione più vicina all’estremità libera della trave. Calcoliamo adesso rapidamente quale sarà la sollecitazione, se disponiamo la trave non di costa, ma di piatto, in modo che la forza agisce sul lato maggiore della sezione, ed in direzione del lato minore fig. (*).

Nella formula

dobbiamo porre in questo caso b = 3 cm e h = 2 cm il momento resistente risulterà allora:

Il momento flettente rimane quello calcolato precedentemente, cioè

La sollecitazione massima sarà:

Quindi si vede che la sollecitazione unitaria è maggiore della metà di quella che si ha nel caso della trave disposta di costa. Tutto ciò che già sapevamo dalle pagine precedente; l’abbiamo qui voluto ripetere, perché tale argomento è molto importante ed è necessario per comprendere quello che spiegheremo di seguito. Nella fig. (*) riproduciamo in scala maggiore la sezione di incastro della trave disposta di costa, considerata nell’esempio svolto ed si vede pure il diagramma delle sollecitazioni.

Dai calcoli eseguiti, conosciamo la grandezza della sollecitazione negli strati esterni della sezione di incastro, e sappiamo inoltre che, nelle fibre disposte sull’asse neutro della sezione, non si ha alcuna sollecitazione. Quale sarà la grandezza della sollecitazione in qualsiasi altro punto di questa sezione di incastro, ad esempio, nelle fibre disposte sullo strato indicato con x nella fig. (*)? Possiamo senz’altro affermare, soprattutto osservando la fig. (*), che la sollecitazione diviene tanto minore, quanto più vicine all’asse neutro si trovano le fibre considerate. Si potrebbe esprimere ciò nel seguente modo: “La sollecitazione diminuisce nello stesso rapporto con cui diminuisce la distanza del punto considerato dall’asse neutro”. In tal modo sarebbe individuata esattamente la seguente legge: In ogni sezione il rapporto fra le sollecitazioni in un punto qualsiasi e la distanza del punto stesso dall’asse neutro è ben determinato e costante. Se indichiamo la distanza delle fibre esterne dall’asse neutro con e (dove e = h/2) e con e_x la distanza della fibra x dall’asse neutro, il rapporto fra le sollecitazioni σ_x e σ^‘ sarà uguale al rapporto tra le corrispondenti distanze dall’asse neutro, cioè fra e_x ed e. Possiamo scrivere questa relazione nella forma di una proporzione:

Poiché vogliamo conoscere la grandezza della sollecitazione σ_x, risolveremo la relazione rispetto a σ_x ed otterremo:

Sarebbe però molto laborioso dovere calcolare ogni volta la sollecitazione nelle fibre esterne per conoscere la sollecitazione che si ha, per un determinato momento flettente, in qualche altra fibra della sezione. Questa si dovrebbe poter calcolare solo in base alla forma ed alle dimensioni della sezione ed in base alla posizione rispetto all’asse neutro della fibra considerata. Ciò è possibile, se nella relazione ora trovata, che dà σ_x, al posto di σ^‘ si pone un’espressione equivalente.

Noi sappiamo che:

possiamo quindi scrivere l’uguaglianza

nel modo seguente:

Nel secondo membro dell’uguaglianza possono variare il momento flettente M, il quale evidentemente dipende dalla forza applicata e dal suo punto di applicazione, e la distanza e_x la quale è diversa, a seconda della fibra per la quale si vuole determinare la sollecitazione σ_x dovuta al momento flettente M. Il prodotto W . e , che compare nel denominatore, rimane però costante, poiché il momento resistente W e la distanza e delle fibre esterne dipendono solo dalla forma, dalle dimensioni della sezione e dalla direzione del carico. Il prodotto W . e (momento resistente moltiplicato distanza delle fibre esterne dall’asse neutro) è quindi una grandezza caratteristica della sezione data. Questo prodotto viene detto “momento di inerzia” della sezione e viene indicato con J (lettera iniziale del vocabolo latino “Jnertia” che significa “inerzia”. L’origine di questa denominazione verrà spiegata più avanti. Possiamo dunque scrivere:

Quindi l’uguaglianza che dà il valore della sollecitazione σ_x in un punto qualunque, situato all’interno di una sbarra o di una trave sollecitata alla flessione, potrà essere scritta nella seguente forma:

Abbiamo dunque preso atto di altri due importanti concetti, ai quali si dovrà sempre ricorrere nello studio della resistenza dei materiali e nei calcoli pratici di resistenza, e precisamente i concetti di momento resistente W e di momento di inerzia J. Il significato di “momento resistente” è già stato spiegato, e abbiamo pure imparato a calcolare la sua grandezza, nel caso delle sezioni rettangolari, mediante la formula:

Per chiarire il concetto di momento resistente, possiamo anche immaginare che esso costituisca una grandezza che misuri la resistenza che una trave di una determinata sezione oppone ad un carico che tende a fletterla. Più difficile è trovare un’immagine che dia una idea abbastanza esatta del momento di inerzia di una sezione di un corpo. Per spiegare e ricavare l’espressione del momento di inerzia, si dovrebbe ricorrere alla Matematica superiore, che non possiamo trattare nel corso di queste brevi lezioni. Perché però ci si possa fare, in qualche modo, una idea pratica del momento di inerzia, spieghiamo l’origine del vocabolo “inerzia” e del suo significato originario. Dobbiamo, con questo, fare uso di qualche nozione di Fisica relativa alla spiegazione del concetto di massa, e all’inerzia delle masse. Se vogliamo mettere in movimento un corpo o, come si dice in Fisica, una massa, come ad esempio, quando su una strada liscia e piana si vuole muovere una automobile, dobbiamo esercitare uno sforzo iniziale relativamente elevato per avviare il movimento; la massa dell’auto si rivela, attraverso questo sforzo, “inerte”. Quando abbiamo però superato la resistenza dovuto a questa inerzia, basterà esercitare uno sforzo molto inferiore per spingere ulteriormente l’auto. L’inerzia, che ha mostrato inizialmente l’auto, dipende, non considerando gli attriti, dalla grandezza della massa dell’auto stessa. Anche quando vogliamo mettere in movimento una pesante ruota, ad esempio un volano, dobbiamo esercitare inizialmente, anche se la ruota è montata su cuscinetti a sfere o a rulli, uno sforzo iniziale molto maggiore di quello richiesto in seguito per mantenere la ruota in movimento. Il volano, o massa inerte, oppone quindi, nel passare dallo stato di riposo allo stato di movimento, rotazione, una resistenza, o inerzia, che deve essere superata. Anche in questo caso l’inerzia dipende dalla massa della ruota, ma non solo dalla grandezza di questa massa, bensì anche dal modo con cui è disposta rispetto all’asse di rotazione. Tanto più questa massa è distante dall’asse di rotazione, tanto maggiore è lo sforzo richiesto per mettere in movimento la ruota. Tanto più vicina è la massa all’asse di rotazione, tanto più facilmente si riesce ad iniziare la rotazione. La resistenza, che una massa oppone ad essere posta in rotazione, viene detta “momento di inerzia”. Come abbiamo già detto, la grandezza del momento di inerzia dipende anche dalla distanza della massa dall’asse di rotazione. Nelle fig. (*a) e (*b) si vedono le sezioni trasversali di due volani che hanno la stessa massa. Nel caso della fig. (*a) la massa però è distribuita su una distanza dall’asse di rotazione molto maggiore, che nel caso della fig. (*b).

Il volano rappresentato nella fig. (*a) ha perciò un momento di inerzia molto maggiore di quello rappresentato nella fig. (*b); più precisamente vale la relazione: Il momento di inerzia è uguale alla massa moltiplicata per il quadrato della distanza della massa stessa dall’asse di rotazione (m . r²). L’inerzia è una proprietà della massa, che appare evidente quando una massa viene posta in movimento (accelerata) ed anche quando essa viene frenata (ritardata). Il momento di inerzia, il cui significato è stato ora spiegato, viene perciò detto anche “momento di inerzia di massa”. Una sezione di trave però, come quelle che consideriamo nel calcolare le sollecitazioni dovute a flessione, non possiede alcuna massa, perché essa non è un corpo, ma una superficie, cioè una figura geometrica. Inoltre non abbiamo a che fare con movimenti di rotazione, ma con un incurvamento per flessione. Quando quindi parliamo del momento di inerzia di una sezione, cioè di un momento di inerzia di una superficie o “momento di inerzia geometrico”, non dobbiamo naturalmente considerare delle grandezze come la massa, il peso, o dei movimenti, come la rotazione. Quindi dobbiamo considerare, esattamente come per il momento resistente, solo le singole parti che compongono la sezione, le loro forme geometriche e la loro disposizione rispetto all’asse neutro. Ne risultano però delle relazioni matematiche analoghe a quelle che si hanno, quando si considera un momento di inerzia di massa; ciò giustifica il nome di “momento di inerzia” che si è conservato per l’espressione relativa alle superfici, che consideriamo, anche se una superficie, dal punto di vista fisico, non presenta alcuna inerzia nel senso originario del vocabolo (cioè un’attitudine a resistere ad una variazione delle condizioni di moto o di quiete). Per estensione dell’analogia di espressione, possiamo dire che i momenti di inerzia geometrici relativi a superfici, come vengono considerati nei calcoli di resistenza dei materiali, costituiscono una misura dell’inerzia con la quale una determinata forma di sezione di una trave si oppone all’incurvamento della trave stessa sotto l’azione di un momento flettente. In questo caso, però, invece della massa noi consideriamo la superficie della sezione, ed al posto dell’asse di rotazione, l’asse neutro della sezione stessa (asse X-X della fig. **).

Il momento di inerzia di una superficie piana si ottiene come somma dei prodotti che si ottengono moltiplicando tutti i singoli elementi di superficie, che compongono la superficie stessa, per il quadrato della loro distanza dall’asse di riferimento, rispetto al quale il momento di inerzia è calcolato (ad esempio si veda la figura *).

Come abbiamo già avuto occasione di dire in precedenza, le nozioni di Matematica che vengono considerate in queste brevi lezioni non sono sufficienti per ricavare esattamente le formule, che danno i momenti di inerzia delle diverse forme di sezione che possono presentarsi nelle travi o nelle aste di una struttura. Per tale ragione nella tabella seguente, sono riportati le formule definitive per il calcolo di alcune sezioni particolarmente importanti, perché ricorrono frequentemente nelle costruzioni, e precisamente le formule che danno i momenti di inerzia ed i momenti resistenti. Gli assi, ai quali sono riferiti i momenti di inerzia dalle formule, sono indicati nei disegni delle singole sezioni con linee a punti e tratti. Le formule valgono quindi per carichi che agiscono perpendicolarmente a questi assi.

I momenti resistenti ed i momenti di inerzia sono fra loro strettamente legati da precise relazioni, e non sarebbe perciò stato assolutamente necessario riportare nella tabella le formule per entrambi. Infatti sappiamo già che J = W . e da questa uguaglianza si ricava senz’altro facilmente che

Da una delle due grandezze si può dunque calcolare l’altra rapidamente. Ad esempio, nel caso della sezione circolare (nella Tabella) dal momento resistente W si può ricavare, in modo molto semplice, anche il momento di inerzia J: infatti, nel caso del circolo si ha:

da cui

In tal modo si potrebbe ricavare anche il momento di inerzia di una sezione rettangolare dal momento resistente, che già conosciamo, relativo alla stessa sezione; infatti

Sostituendo questo valore nell’uguaglianza J = W . e , avremo:

da cui

Nel numeratore della frazione che costituisce il secondo membro dell’uguaglianza, possiamo osservare che una lunghezza alla terza potenza è moltiplicata per una lunghezza semplice, cosicché il prodotto sarà misurato in cm x cm³, cioè in cm⁴. Che i momenti di inerzia siano misurati con questo tipo di unità di misura risulta anche da un’altra considerazione: abbiamo infatti, precedentemente detto che il momento di inerzia di una superficie si calcola sommando dei prodotti di elementi superficiali moltiplicati per il quadrato della loro distanza dall’asse di riferimento. Si moltiplica cioè una superficie (cm²) per il quadrato di una lunghezza (cm x cm); il risultato è evidentemente una lunghezza alla quarta potenza, cioè è misurato in cm⁴.

La formula

non vale solo per le sezioni rettangolari, ma, in generale, per tutte le sezioni di qualsiasi forma.

Mentre con la formula

calcoliamo solo le sollecitazioni unitarie che si hanno nelle fibre esterne superficiali, con la formula,

si può calcolare la sollecitazione unitaria, che si ha in qualsiasi posizione della sezione. Poiché questa formula ha un valore generale, essa deve dunque valere anche per calcolare le sollecitazioni nelle fibre esterne. Vogliamo ora verificare questa circostanza nel caso della sezione rettangolare: in questo caso si ha:

(vedi fig. **) e

Avremo dunque l’uguaglianza:

Si è dunque ritrovata la nota formula

che costituisce perciò solo un caso speciale della formula generale

Abbiamo cosi trovato un ulteriore mezzo per approfondire e portare a termine l’esempio svolto precedentemente. Possiamo quindi ora calcolare la grandezza della sollecitazione in un determinato punto situato nell’interno della trave. Riprendiamo quindi la trave dell’esempio precedente e vediamo di calcolare la grandezza della sollecitazione unitaria nella sezione di incastro in corrispondenza di una fibra situata a 6 mm dalla superficie esterna.

Una fibra situata a 6 mm dalla superficie esterna risulta distante dall’asse neutro di 9 mm = 0,9 cm. Abbiamo dunque, nel nostro caso, che e_x = 0,9 cm. Il momento di inerzia della sezione è:

Secondo la formula relativa alla σ_x, nelle fibre a 6 mm di distanza dalla superficie esterna la sollecitazione è uguale a:

Quindi possiamo notare che, mentre la sollecitazione nelle fibre esterne è di 1000 kg/cm², la sollecitazione a 6 mm di distanza dalla superficie esterna è di soli 600 kg/cm². Per impratichirci all’uso della tabella, facciamo ancora un altro esempio, in cui intervengono i momenti di inerzia. Prendiamo in considerazione una trave a cassone costituita da lamiere di acciaio di 30 mm di spessore, saldate fra di loro. L’altezza della trave è H = 500 mm, la sua larghezza B = 300 mm fig. (*).

a) Quali sono le grandezze dei momenti di inerzia e resistente della sezione della trave?

b) Quale sarà la sollecitazione unitaria σ_a, alla superficie esterna superiore ed inferiore della trave, e quale la sollecitazione unitaria σ_i, nei bordi interni delle lamiere superiore ed inferiore, che formano la trave, se il momento flettente nella sezione è di 750.000 kgcm?

a) La sezione della trave corrisponde alla forma n. 11-a considerata nella tabella. In tale tabella troviamo che il momento resistente di una sezione di questa forma è dato da:

ed il momento di inerzia da:

Basterà quindi sostituire in queste formule i valori: H = 50 cm, h = 44 cm, B = 30 cm, b = 24 cm. Otterremo:

ed inoltre

b) Secondo la formula

avremo che

Per calcolare la sollecitazione sulla superficie interna delle lamiere superiore ed inferiore, dobbiamo anzitutto determinare la distanza di queste superfici e_x = e_i dall’asse neutro: dal disegno della sezione, nella fig. (*), si ha che:

Possiamo quindi calcolare la sollecitazione σ_i con la formula

sostituendo i valori si ha:

Abbiamo con ciò risposto a tutte le domande poste. Faremo ora un altro esempio, molto simile a quelli che si trovano da risolvere frequentemente nella pratica: calcoleremo quale sezione si deve dare ad una trave caricata con un determinato carico in una determinata posizione. Una trave di sezione quadrata, in acciaio, deve portare un carico P = 900 kg. La trave è appoggiata alle sue estremità, e gli appoggi sono distanti fra di loro 600 mm, mentre il carico è appeso ad una distanza di 200 mm da uno degli appoggi fig. (*). La sollecitazione unitaria ammissibile prefissata è di 1.000 kg/cm². Che lunghezza avrà il lato della sezione quadrata della trave?

Dobbiamo anzitutto riflettere al modo in cui e sollecitata la trave. Si tratta di una trave su due appoggi, la quale viene sollecitata per flessione da un carico P appeso ad essa non simmetricamente, cioè non a metà della trave. Facciamo anzitutto il disegno schematico relativo a questa condizione di carico, come si usa fare nei calcoli statici fig. (*). Pensiamo ora quali dati dobbiamo conoscere per poter calcolare le dimensioni della sezione della trave. Per prima cosa dovremo conoscere il momento flettente massimo M, sul quale sarà basato il calcolo di resistenza. Inoltre dovremo determinare il momento resistente W. Quale sarà la formula che useremo a tale scopo?

Nella tabella troviamo che il momento resistente di una sezione quadrata è:

Questa formula però non basta, perché essa contiene la grandezza h; lato della sezione quadrata della trave, la quale è precisamente la grandezza che dobbiamo calcolare. Possiamo però ricorrere alla formula:

nella quale compare il momento flettente M, che in ogni caso dobbiamo calcolare per prima, ed inoltre la sollecitazione σ‘ delle fibre superficiali esterne, la grandezza della quale è prescritta nell’esempio che vogliamo svolgere. La sollecitazione nelle fibre superficiali esterne è infatti la sollecitazione massima che si ha nella sezione. Possiamo quindi porla uguale alla sollecitazione unitaria ammissibile σ = 1000 kg/cm². Ciò premesso possiamo iniziare il calcolo del momento flettente e del momento resistente. In precedenza abbiamo già visto come si determinano i momenti flettenti in una trave su due appoggi che sopporta un carico P. Abbiamo inoltre visto che il momento flettente massimo si ha sempre esattamente nella sezione della trave in corrispondenza della quale è applicato il carico. Per calcolare questo momento flettente massimo iniziamo, come al solito, a calcolare le reazioni degli appoggi, nel modo che già sappiamo:

verifica:

Applicando il metodo della sezione, troviamo adesso il momento flettente nella sezione in corrispondenza del punto di applicazione del carico P:

Questo momento flettente è pure il momento flettente massimo, e quindi dobbiamo considerarlo nel calcolo di resistenza da eseguire, perché infatti la trave si romperebbe, quando fosse sovraccaricata, nella sezione dove si ha il momento massimo (sezione pericolosa). Possiamo adesso calcolare il momento resistente:

Calcolo della sezione della trave.

La trave deve quindi essere così robusta da presentare, al minimo, un momento resistente di 12 cm³. Il momento resistente W è però espresso da h³/6; l’altezza h della trave quadrata di acciaio, che costituisce la trave, deve essere quindi tale, che si abbia:

Risolviamo questa uguaglianza rispetto ad h³; avremo h³ = 6 . 12 cm³ . Ciò significa che l’altezza h deve essere così grande che, moltiplicata tre volte per se stessa, dia 72; cioè tale che sia h . h . h = 72 cm³ . Ciò, in linguaggio matematico, viene espresso come segue: “h deve essere uguale alla radice cubica di 72”, e si scrive:

si ha dunque

si è trovato cosi il lato della sezione quadrata della trave ossia, come si dice in linguaggio pratico, lo spessore della trave, dovrà essere quindi al minimo uguale a 4,16 cm. Scegliamo il valore immediatamente superiore, costituito da un numero intero di millimetri e stabiliamo quindi in definitiva: h = 4,2 cm = 42 mm.

La convenienza economica delle diverse forme delle sezioni delle travi.

Nel precedente esempio è stato stabilito che la trave deve avere una sezione quadrata. Vediamo adesso di indagare se si sarebbe potuto risparmiare del materiale, impiegando una trave di sezione rettangolare disposta di costa, cioè una trave di acciaio piatto, invece di una trave quadrata (con sezione quadrata). Stabiliamo anzitutto che l’altezza della trave piatta sia doppia della sua larghezza, che si abbia cioè: b:h=1:2.

Il momento resistente minimo che la trave deve presentare è, come abbiamo visto, W = 12 cm³. La formula che dà il momento resistente di una sezione rettangolare è, come risulta dalla tabella pari a:

Si deve dunque avere:

e quindi: b . h² = 6 . 12 cm³ = 72 cm³ . Dato il rapporto stabilito fra l’altezza e la larghezza della trave piatta, al posto di b possiamo scrivere h/2 , cosicché avremo:

od anche

L’altezza h della trave deve essere quindi, al minimo:

ossia 54 mm, per avere un numero pari di millimetri. La trave piatta di acciaio deve essere dunque alta 54 mm e larga 27 mm. Questa trave costituita da una sezione piatta disposta di costa, sarà più leggera e quindi meno costosa della trave quadrata prima calcolata? La trave più leggera e, se di profilo semplice, anche meno costosa, sarà quella che richiede per la sua fabbricazione una quantità minore di materiale. La minore quantità di materiale è richiesta da quelle travi, le cui sezioni presentano superfici minori. Calcoliamo, quindi le superfici delle sezioni:

Sezione quadrata:

Sezione rettangolare:

Se per la nostra trave scegliamo la sezione rettangolare e disporremo la trave di costa, si realizzerà perciò una notevole economia. Ancora più costosa della trave con sezione quadrata sarebbe stata la trave con sezione rettangolare, ma disposta di piatto.

Avendosi in questo caso un rapporto b:h=2:1 sarebbe stata necessaria una sezione di dimensioni 66 x 33 mm, come si può facilmente controllare con il calcolo. Questa trave avrebbe avuto una sezione con superficie di circa 21,8 cm². Abbiamo con ciò dimostrato che, nelle travi sollecitate a flessione, è conveniente adottare una sezione molto alta e stretta, al fine di realizzare la massima economia. Ancora più convenienti, dal punto di vista economico, sono quelle forme di sezione nelle quali la maggior parte del materiale è disposta verso i bordi inferiore e superiore (dove si verificano infatti le massime sollecitazioni), mentre si ha invece poco materiale nelle zone centrali, dove le sollecitazioni sono minime. Sezioni di questo tipo (profili) sono, ad esempio, le sezioni a forma di U dette “sezioni ad U” e le sezioni dette “sezioni a doppio T”.

In queste sezioni il materiale viene utilizzato ancora meglio che nelle sezioni rettangolari disposte di costa. Possiamo esprimere brevemente tale fatto nel seguente modo:

Una sezione sollecitata a flessione richiede la minima quantità di materiale, quando il materiale stesso è disposto il più lontano possibile dall’asse neutro.

Questa regola deve essere seguita fin dove è possibile, nel progettare gli elementi costruttivi di strutture sollecitate a flessione. Una spiegazione è quella relativa al calcolo dei perni cavi, che per diminuire la pressione specifica unitaria sui perni, il diametro dei perni stessi viene frequentemente aumentato più di quanto sarebbe necessario, per ragioni di resistenza. In tal modo non viene però aumentata solo la superficie esterna del perno, ma il materiale viene a trovarsi a maggiore distanza dall’asse neutro. La resistenza del materiale stesso viene quindi meglio utilizzata, cioè sarà necessario impiegare meno materiale per ottenere la stessa resistenza, che non nel caso di un perno cavo di minor diametro o magari a sezione piena. Dimostriamo adesso mediante un esempio pratico quanto abbiamo detto. Consideriamo un perno cavo che ha un diametro esterno di 60 mm ed un diametro interno di 40 mm. Lo spessore della sua parete è quindi di 10 mm fig.(*). Quale sezione dovrebbe avere un perno a sezione piena, costruito con lo stesso materiale, affinché possa sopportare lo stesso momento flettente sopportato dal perno cavo?

Per ora sappiamo soltanto che i momenti flettenti, che possono essere sopportati dai due perni debbono essere uguali. Il massimo momento flettente può essere calcolato con la formula:

Non è però affatto necessario eseguire questo calcolo, perché nel secondo membro dell’uguaglianza, oltre al momento resistente W, compare solo la sollecitazione unitaria σ‘ nelle fibre esterne. Poiché il perno a sezione piena deve essere costruito con lo stesso materiale del perno a sezione cava, si può stabilire per entrambi i perni la stessa massima sollecitazione unitaria ammissibile nelle fibre esterne. Da ciò deriva che il perno a sezione piena deve presentare lo stesso momento resistente di quello a sezione cava; sarà quindi sufficiente che noi calcoliamo anzitutto il momento resistente del perno cavo. Ciò verrà eseguito mediante la formula riportata nella tabella sotto la forma di sezione n. 9:

nella quale introduciamo i dati numerici del perno cavo dell’esempio:

Il momento resistente del perno cavo è dunque W = 17,33 cm³; di uguale grandezza deve essere il momento resistente del perno a sezione piena. Il momento resistente di una sezione circolare piena è pure dato dalla tabella, ed è precisamente W = 0,1 . D³ . Al posto di W poniamo il valore prima ottenuto del momento resistente del perno cavo; otterremo 17,33 cm³ = 0,1 . D³ da cui risolvendo rispetto a D, si avrà:

e quindi

estraiamo la radice cubica

Il perno a sezione piena dovrebbe dunque avere un diametro di 5,6 cm = 56 mm fig. (*). Come possiamo notare, il suo diametro esterno è poco diverso da quello del perno cavo. La superficie della sezione del perno pieno è di 24,6 cm², mentre quella della sezione anulare del perno cavo è di soli 15,7 cm². Si vede dunque chiaramente che il materiale che si trova in vicinanza dell’asse neutro contribuisce pochissimo alla resistenza, che la sezione circolare non viene perciò completamente utilizzata e quindi è meno conveniente, dal punto di vista economico, della sezione anulare.

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