resistenza a flessione – Progettazione Architettura

La resistenza alla flessione

Si conoscono già alcune nozioni sulla resistenza alla trazione e sulla resistenza alla compressione. Si è infatti già considerato il caso di una forza P che agisce normalmente alla sezione di un corpo a forma di asta, nella direzione dell’asse di tale asta. Si tratta quindi, in tal caso, di un semplice sforzo di trazione o di compressione. Si è visto che cosa si intenda per flessione, e si è certamente notato quale sia la differenza fra uno sforzo di flessione ed uno sforzo semplice di trazione o di compressione: nel caso di un corpo sollecitato a flessione le forze non agiscono nella direzione dell’asse dell’asta considerata, come succede nel caso della semplice trazione o compressione, ma agiscono, per lo più, perpendicolarmente a tale asse; ciò risulta evidente nell’esempio del trampolino più volte citato.

Qui di seguito si continuerà a trattare ancora dei carichi che producono una flessione sui corpi. Nella fig. (*) è rappresentata una trave sollecitata a flessione. Si tratta di una trave incastrata ad una estremità, sull’altra estremità libera della quale è appeso un carico P. In realtà, le travi a sbalzo non vengono piegate così fortemente come è stato rappresentato nella figura, nel disegno è stata accentuata la deformazione solo per rendere più chiaro come si deforma una trave sollecitata alla flessione. In questa figura si nota che, per effetto della incurvatura della trave, il suo bordo superiore si allunga, mentre quello inferiore si accorcia. (Ciò risulta molto evidente anche se si prende, ad esempio, un pezzo di tubo di gomma e lo si piega ad anello). Una retta centrale, cioè l’asse della trave, non subisce invece alcuna variazione di lunghezza. Tale linea si chiama quindi “asse neutro”, perché non viene né allungata, né accorciata; si comporta cioè, in confronto alle linee disposte sui bordi inferiore e superiore della trave, in modo neutro: Le zone di materiale disposte secondo un asse centrale o lungo rette parallele ad esso, in punti qualsiasi della sezione della trave, si dicono anche “fibre” del materiale, per l’analogia con la struttura fibrosa del legno. Come può facilmente immaginare, la fibra neutra non è, in realtà, costituita da una fibra sola, ma da uno strato di fibre disposte su un piano, strato che, nella sezione longitudinale della trave, è rappresentato in figura da una linea a tratti e punti. Si è già visto che, quando il materiale subisce degli allungamenti, esso è sottoposto a sollecitazioni di trazione, mentre quando subisce degli accorciamenti è sottoposto a sollecitazioni di compressione. Nella trave incurvata si vede che sul lato superiore si ha un allungamento e sul lato inferiore un accorciamento. Perciò su tali due lati si avranno rispettivamente delle sollecitazioni di trazione e delle sollecitazioni di compressione. Mentre quindi nel caso del semplice carico di trazione, le tensioni nel materiale sono uniformemente distribuite sull’intera sezione, cosicché tutte le fibre sono sottoposte alla stessa sollecitazione di trazione, e quindi anche i loro allungamenti sono uguali, nel caso della flessione, le fibre più al di sopra dell’asse neutro di una trave incurvata verso il basso sono allungate al massimo, cioè subiscono la maggiore sollecitazione di trazione. Le fibre intermedie fra quelle disposte sul lato esterno superiore e lo strato di fibre neutre vengono pure allungate, ma meno di quelle disposte sulla superficie esterna, e ciò perché la sollecitazione di trazione diminuisce man mano che si procede dalla superficie esterna superiore al centro della trave. In modo analogo, le fibre disposte sul lato esterno inferiore della barra si accorciano più delle altre, e subiscono quindi una sollecitazione di compressione maggiore. Nelle fibre superiori più lontane dall’asse neutro agisce quindi la massima sollecitazione di trazione, mentre nelle fibre inferiori più lontane dall’asse neutro agisce la massima sollecitazione di compressione. Nelle fibre disposte in corrispondenza dell’asse neutro non si ha alcuna variazione di lunghezza e quindi nessuna sollecitazione; fra l’asse neutro e le fibre esterne superiori ed inferiori le sollecitazioni aumentano uniformemente da 0 fino ad un valore massimo. Ciò è rappresentato in modo molto chiaro nella fig. (*). In tale figura, a partire dal segmento g, che rappresenta la vista di fianco di una sezione della trave, vengono riportati normalmente, in tutti i punti, dei segmenti proporzionali alle sollecitazioni di trazione e di compressione che si hanno nei punti stessi.

È evidente la ragione per cui i segmenti rappresentanti sollecitazioni di trazione sono stati riportati dalla parte opposta a quella dove sono stati riportati i segmenti che rappresentano le sollecitazioni di compressione, poiché i due tipi di sollecitazione agiscono in senso contrario. In tal modo sono si sono disegnati i due triangoli tratteggiati con delle frecce che si toccano nel vertice sull’asse neutro. Da questi triangoli si rileva chiaramente che le sollecitazioni sono massime ai bordi inferiore e superiore e che esse diminuiscono uniformemente procedendo verso l’asse neutro, dove non si ha alcuna sollecitazione. I due triangoli costituiscono il cosiddetto “diagramma delle sollecitazioni”. Nelle travi con sezione rettangolare o di qualsiasi altra forma simmetrica ad un asse centrale di mezzeria; l’asse neutro coincide con l’asse di simmetria o di mezzeria della trave. In questo caso la massima sollecitazione di compressione e la massima sollecitazione di trazione sono uguali fra di loro in valore assoluto, come è rappresentato nella fig. (*). Le sollecitazioni massime nelle fibre esterne vengono indicate con σ’, e sono chiamate “sollecitazioni di flessione”, perché sono dovute ad una flessione. La grandezza di queste sollecitazioni di flessione si trova con una formula del tutto simile a quella che dà le sollecitazioni di trazione e di compressione. Essa è precisamente:

Nota: Le sollecitazioni unitarie sono di solito espresse in kg/cm², kg/mm²o in kN/cm², kN/mm². Si usa prevalentemente l’unità di misura kg/cm² quando si tratta di una sollecitazione in materiali come il cemento armato, legno, le murature, ecc., mentre quando si tratta di sollecitazioni in materiali metallici, come l’acciaio, la ghisa, l’alluminio, il bronzo, ecc., si usa prevalentemente l’unità kg/mm²o in kN/mm². La differenza in confronto alla formula σ = P/A consiste solo in questo: invece del carico P si ha il momento flettente M. Invece dell’area A della sezione che compare nella formula, si ha una grandezza W detta “momento resistente”, di cui si spiega subito il significato. Dalla esperienza pratica si sa certamente che una asta di sezione rettangolare (ad es., una tavola di legno, un ferro piatto, ecc.) si piega molto di più se viene disposta orizzontalmente, applicando il carico normalmente alla superficie laterale più larga, che non nel caso che essa venga disposta di costa, pure essendo sollecitata con lo stesso carico, ma sulla superficie laterale più stretta fig. (*).

Quando è disposta di costa, l’asta ha una rigidità molto maggiore e presenta al carico di flessione una maggiore resistenza, che non quando è disposta di piatto. Poiché in entrambi i casi l’area della sezione è la stessa, la differenza della capacità portante dipende solo dalla differenza fra le altezze dell’asta in direzione del carico. Ne deriva che l’altezza di una asta (misurata in direzione del carico) contribuisce molto di più alla resistenza alla flessione che la larghezza dell’asta stessa. Poiché il momento resistente (il termine “momento resistente” ha presso a poco lo stesso significato, di “grandezza della resistenza”) deve esprimere la grandezza della resistenza alla flessione, esso deve dipendere pure in maggiore misura dall’altezza della trave che non dalla larghezza. Il momento resistente di una sezione rettangolare è ad esempio:

Si noti che nel prodotto che costituisce il numeratore della frazione, la larghezza compare come fattore una volta sola, mentre l’altezza compare due volte. Perché? Dall’esempio dell’asta rettangolare si sa che la grandezza della resistenza alla flessione dipende in maggior misura dall’altezza che non dalla larghezza dell’asta. Per ora non è necessario ricercare come questa formula sia stata derivata, e perché ad esempio, nel denominatore compaia il numero 6. Si daranno in seguito sul momento resistente delle spiegazioni più precise. Per ora è sufficiente tenere presente la formula che dà il momento resistente di una sezione rettangolare. In tale formula la larghezza della sezione sarà indicata in modo abbreviato con la lettera b, e l’altezza con la lettera h, cosicché, la formula, che è stata già esposta esprimendo per esteso larghezza ed altezza, diventerà la seguente:

L’origine dell’unità di misura cm³ in questa formula è chiara: si nota infatti nel numeratore della formula il prodotto di tre lunghezze; moltiplicando fra di loro tre lunghezze, espresse in cm, il prodotto sarà misurato da un’unità (cm · cm · cm), che è precisamente cm³ (si legge: “cm al cubo” o “cm alla terza”; non si deve dire cioè, in questo caso, “centimetri cubi”!). A questo punto si è visto dunque come si calcola il momento resistente W di una sezione rettangolare. Sul calcolo dei momenti flettenti M, sono stati già fatti diversi esempi, per cui ora si è in grado, mediante la formula M / W di calcolare anche le sollecitazioni di flessione σ’; con questa formula si ottiene precisamente la grandezza delle sollecitazioni ai bordi superiore e inferiore, cioè le sollecitazioni massime che si hanno nella sezione. Sono precisamente queste sollecitazioni massime che interessano, perché bisogna infatti calcolare le dimensioni degli elementi delle strutture in modo, che essi resistano alle massime sollecitazioni a cui possono essere sottoposti, senza rompersi. La formula σ’ = M / W che dà la sollecitazione per flessione, si può scrivere anche nella forma seguente; questa si impiega quando si deve trovare il momento resistente e sono dati il momento flettente e la sollecitazione unitaria ammessa:

Si impiegherà invece la formula nella forma seguente, quando si deve trovare il momento flettente e sono dati la sollecitazione unitaria ed il momento resistente:

Si esegue ora qualche esempio sul calcolo delle sollecitazioni unitarie di flessione: Nella figura (*) seguente è rappresentata una asta di acciaio; la sua sezione rettangolare ha una larghezza b = 30 mm ed una altezza h = 40 mm. Questa asta è incastrata con la sua estremità sinistra in un muro, dal quale sporge a sbalzo con la sua estremità destra. Costituisce dunque una cosiddetta “trave a sbalzo” (o “mensola”).

All’estremità libera dell’asta, esattamente ad una distanza di mm 400 dall’incastro è appeso un carico P = 260 kg. La sollecitazione unitaria ammissibile per l’acciaio con cui si suppone è fabbricata l’asta è di 1400 kg/cm². Si risponda alle seguenti domande:

Dove si verifica la massima sollecitazione unitaria?

Quale è la grandezza di questa massima sollecitazione unitaria?

Le dimensioni dell’asta sono sufficienti per sopportare il carico?

Le risposte a queste domante possono essere ottenute con dei semplicissimi ragionamenti. L’asta incastrata è sollecitata alla flessione dal carico appeso alla sua estremità. Per il calcolo va quindi impiegata una delle formule espresse prima. Poiché si deve trovare la grandezza della sollecitazione unitaria, si impiegherà la formula

Si deve però prima calcolare il momento flettente M ed il momento resistente W. Per quale sezione si deve calcolare il momento flettente? Evidentemente si calcola il momento flettente che si ha nella sezione più pericolosa. Nelle travi a sbalzo, come già si è visto, la sezione più pericolosa si ha all’incastro; in tale sezione il momento flettente è massimo ed in essa si verificano perciò le massime sollecitazioni unitarie. Quindi ci si occupa solo della sezione di incastro, cioè dove la trave penetra nel muro; se in tale sezione l’asta resiste essa resisterà anche in tutte le altre sezioni. In questo modo si è data la risposto alla prima domanda dell’esempio. Si calcola ora il momento flettente nella sezione di incastro detto brevemente “momento flettente di incastro”. Poiché le sollecitazioni unitarie vengono espresse in kg/cm² nei calcoli si deve esprimere il carico in kg e tutte le lunghezze in cm. Quindi si ha che P = 260 kg e che la distanza “a” del carico dalla sezione di incastro è di cm 40. Pertanto sostituendo

Il momento resistente viene calcolato con la formula

In questo caso si ha che: b = 3,00 cm, e h = 4,00 cm; sarà dunque:

Si inseriscono ora questi valori di M e W nella formula:

Si è quindi in grado di rispondere anche alla seconda domanda: la massima sollecitazione unitaria è di 1300 kg/cm²; essa è inferiore allo sollecitazione unitaria ammissibile, o carico di sicurezza, che è di 1400 kg/cm². La risposta alla terza domanda è quindi affermativa: l’asta è sufficientemente robusta per portare il carico. Nell’esempio ora eseguito si è scelto, come tipo di struttura da calcolare, una asta di acciaio di sezione rettangolare. Nelle costruzione più complesse, per le strutture portanti, si usano di solito profilati laminati, la cui sezione non è di forma così semplice come quella rettangolare. I momenti resistenti dei diversi profili dei laminati saranno resi noti in seguito. La forma, rettangolare della sezione si incontra più frequentemente nelle travi di calcestruzzo armato, legno, nelle tavole, nei travetti, ecc. Quando si esegue il calcolo del momento resistente di un’asta o trave a sezione rettangolare, si deve bene osservare quale dei due lati del rettangolo ha la stessa direzione del carico e quale è perpendicolare al carico stesso. Il lato che ha la stesse direzione del carico, compare due volte come fattore del prodotto che costituisce il numeratore della formula del momento resistente W, mentre l’altro lato, perpendicolare alla direzione del carico, compare una volta sola in tale prodotto. Nella fig. (*) è disegnato un rettangolo, che rappresenta la sezione di una asta sollecitata alla flessione. In tale disegno sono tracciati anche i due assi di simmetria x-x e y-y. L’asse x-x è disposto nella stessa direzione della larghezza b e l’asse y-y nella direzione dell’altezza h.

Quando l’asta viene piegata di costa, cioè quando il carico è applicato perpendicolarmente, sul lato stretto della sezione, e agisce nella direzione y-y, le fibre, disposte e in corrispondenza dell’asse x-x, come si è precedentemente visto, non vengono sollecitate; quanto maggiore è la distanza delle altre fibre dall’asse x-x, tanto più elevate sono le sollecitazioni a cui sono sottoposte. La sollecitazione delle singole fibre dipende quindi dalla loro distanza dall’asse x-x. Nel caso invece in cui l’asta lavora di piatto, cioè con il carico applicato sul Iato largo della sezione, in direzione dell’asse x-x, le fibre non sollecitate saranno quelle disposte in corrispondenza dell’asse y-y, mentre la sollecitazione nelle altre fibre sarà tanto maggiore, quanto più distanti saranno dall’asse y-y. La distribuzione delle sollecitazioni e anche la grandezza del momento resistente sono diverse a seconda che l’esse neutro coincida con l’asse di simmetria x-x, oppure con l’asse y-y, a seconda, cioè, del lato dell’asta sul quale il carico viene applicato. Per ogni sezione rettangolare si debbono quindi considerare due diversi momenti resistenti: Uno di essi va considerato quando il carico agisce perpendicolarmente (verticalmente) all’asse x-x, e viene indicato con Wx; l’altro momento resistente va considerato quando il carico è applicato perpendicolarmente all’asse y-y e viene indicato con Wy. Poiché nelle tabelle dei profilati standard, i momenti resistenti delle relative sezioni, ed anche le altre grandezze, di cui si parlerà in seguito, vengono sempre indicati in tal modo, cioè con il riferimento ad un asse x-x, oppure ad un’asse y-y, è necessario quindi sapere precisamente quale è l’asse x-x e quale l’asse y-y in ogni singola sezione di profilato, e come è diretto il carico rispetto a tali assi. Per chiarire meglio si svolga un semplice esempio e quindi ci si chiede quali sono le grandezze dei momenti resistenti di una sezione rettangolare dove b = 10,00 cm e h = 14,00 cm ? Si conosce già che la formula del momento resistente che è: