2 – STATICA facile

La trave su due appoggi con carico uniformemente distribuito

Finora abbiamo considerato solo dei carichi concentrati, cioè dei carichi applicati a singoli punti di una trave. I carichi P, ed anche le reazioni degli appoggi A e B sono carichi concentrati. Una trave, però, può essere caricata anche diversamente, e cioè con un carico uniformemente distribuito. Nell’ultimo esempio svolto abbiamo considerato un gran numero di carichi concentrati uguali fra di loro e distribuiti uniformemente su tutta la lunghezza della trave. Si trattava però sempre di carichi concentrati, le cui distanze dagli appoggi potevano essere esattamente misurate, rendendo cosi possibile il calcolo dei momenti flettenti sui punti di applicazione dei singoli carichi. Il diagramma dei momenti è cosi risultato formato da una linea spezzata con i vertici particolarmente vicini fra di loro. Se adesso immaginiamo di aggiungere, l’uno accanto all’altro, un gran numero di carichi concentrati uguali fra loro, ad esempio disponendo l’uno accanto all’altro, su una trave in ferro a doppio T appoggiata alle due estremità, una serie di sacchi di sabbia, come abbiamo indicato nella fig. (*), avremo su detta trave un carico uniformemente distribuito. Utilizzeremo dei disegni schematici, relativi ai calcoli statici, quindi tali carichi saranno rappresentati da superfici rettangolari con tratteggio verticale formato da tanti piccoli carichi concentrati fig. (*) .

Molto spesso si deve considerare come carico uniformemente distribuito anche il peso proprio di corpi a forma di asta di sezione costante. In realtà, a volere essere molto precisi, ogni corpo, quando non sia appoggiato verticalmente, viene sollecitato per flessione dal suo proprio peso. Abbiamo sicuramente avuto occasione di osservare l’incurvatura dovuta precisamente al peso proprio di un’asse appoggiata su due appoggi distanti, o di una sbarra profilata appoggiata su due cavalletti fig. (*).

Non verrà però certamente in mente a nessun tecnico di considerare, ad esempio, il peso proprio, nel caso di un perno di breve lunghezza e fortemente sollecitato alla flessione da carichi esterni. Se si tratta invece di un’asta di grande lunghezza, di assi molto pesanti, o di una lunga trave, nei calcoli occorre sempre tenere conto del loro peso proprio. In generale, si può dire quanto segue: Quando il peso proprio di un organo di macchina, o di un elemento di una struttura è piccolo in confronto agli altri carichi che agiscono sul corpo, esso può essere trascurato nei calcoli statici di resistenza, poiché in tali calcoli si introduce sempre un sufficiente coefficiente di sicurezza, con il quale si tiene implicitamente conto anche dell’influenza del peso proprio. Se però il peso proprio è così elevato da influire notevolmente sulla grandezza delle sollecitazioni unitarie che si sviluppano nell’elemento strutturale o nell’organo di macchina, esso va naturalmente considerato nei calcoli. Quando il carico uniformemente distribuito non si estende su tutta la lunghezza della trave, ma solo su un certo tratto di essa, si dirà che la trave è sottoposta ad un carico uniformemente distribuito parziale fig. (*).

Su questa condizione di carico, che si presenta spesso nelle costruzioni, ritorneremo a parlarne più dettagliatamente. Per ora, vediamo, con alcuni esempi, come si calcola una trave su due appoggi con carico distribuito uniformemente su tutta la sua lunghezza. Vediamo anzitutto come determinare il peso totale che agisce sulla trave e le reazioni degli appoggi. Per rende chiari i problemi da risolvere, come abbiamo fatto frequentemente in precedenza, svilupperemo gli esempi di calcolo semplificandoli al massimo, anche se in tale modo non corrispondano, in tutti i particolari, ai reali casi pratici.

Il calcolo delle reazioni degli appoggi

Prendiamo come primo esempio una asta di acciaio omogeneo, del diametro di 70 mm, è appoggiata liberamente alle due estremità in due supporti fig. (*).

Calcoliamo anzitutto il peso di un tronco lungo m 1 di acciaio tondo, del diametro dell’asta. Dobbiamo per prima cosa determinare il volume di tale tronco di asta. Dal punto di vista geometrico si tratta di un corpo cilindrico, di cui sappiamo calcolare il volume utilizzando la formula

In questo caso abbiamo che d = cm 7 ed h = cm 100. Si avrà quindi che

Il peso specifico dell’acciaio è 7,85 kg/dm³, cosicché il peso dell’asta per ogni metro lineare è di:

Per indicare il peso proprio per ogni metro o, come si usa dire, il “peso al metro lineare”, useremo la lettera q; il peso proprio dell’intera asta la indicheremo con Q. Il risultato del calcolo finora eseguito è quindi: q  = 30 kg/m (il tratto inclinato fra l’indicazione kg e m non deve essere mai tralasciato; esso significa “per ogni”; non essendoci il tratto l’indicazione kgm indicherebbe come ben sappiamo già le dimensioni di un momento flettente). Poiché 1,00 m di acciaio tondo ha il peso q l’asta (considerata dal punto di vista della Statica come una trave), presenta una distanza libera, o portata, fra gli appoggi l, il peso dell’intera asta, che interessa per il nostro calcolo statico, sarà

(Le estremità dell’asta che sporgono da ogni lato, oltre i centri dei supporti A e B, non vengono considerate nel calcolo, poiché il loro peso viene sostenuto direttamente dai supporti e non contribuisce perciò a sollecitare I’asta alla flessione). Il carico sull’asta è simmetrico; su ciascun supporto viene perciò a gravare la metà del peso dell’asta. Le reazioni degli appoggi sono perciò:

ed ugualmente

Poiché, per carichi uniformemente distribuiti, V_A e V_B risultano sempre uguali, si scrive brevemente:

Per l’esempio considerato, in tale formula si deve porre q = 30 kg/m ed l = 6000 mm = 6,00 m (nel caso di misure espresse in m, bisogna indicare sempre dopo il numero intero di metri, due cifre decimali, anche se si tratta, come ora, di un numero intero di metri e quindi le due cifre decimali risultano due zeri). Il peso dell’intero albero è quindi

Come si vede, il peso proprio è in questo caso talmente grande, da non potere essere trascurato nel calcolo del momento flettente. La grandezza delle due reazioni d’appoggio, dovute al peso proprio, può essere certamente precisata senza ricorrere al calcolo con formula. Le due reazioni sono fra di loro uguali e ciascuna di esse è precisamente uguale alla metà del peso Q ora calcolato, cioè uguale a 90 kg. Per controllo, ed a scopo di esercitazione, eseguiamo tuttavia anche il calcolo con la formula suddetta:

Risolveremo ora un altro esempio, in cui, al peso proprio costituente un carico uniformemente distribuito, si sovrappone un carico esterno concentrato. Sull’asta descritta nel precedente esempio, alla distanza di m 2,00 da un appoggio, è calettata una puleggia, il cui peso è di 45 kg fig. (*). Quali sono, in questo caso, le grandezze delle reazioni degli appoggi? Al peso proprio di 180 kg si aggiunge ora il peso della puleggia P = 45 kg: Anche quest’altro peso si distribuirà in parti uguali sui due appoggi? Per rispondere a questa domanda sarà opportuno disegnare prima lo schema dell’asta e della nuova condizione di carico, come si usa in Statica. Se consideriamo la fig. (*), nella quale è stato appunto riportato tale disegno schematico, ci accorgiamo subito che l’appoggio di sinistra A risulterà caricato per effetto della puleggia in misura maggiore dell’appoggio di destra B. La suddivisione in parti uguali del carico uniformemente distribuito costituito dal peso proprio dell’asta rimane inalterata. Calcoliamo dunque anzitutto, come nell’esempio precedente, le reazioni degli appoggi per il carico uniformemente distribuito, usando la formula che già conosciamo:

e determiniamo poi la distanza del carico P dall’appoggio B: essa è b = 6,00 m – 2,00 m = 4,00 m.

Se sull’asta agisse solo il carico concentrato P, la reazione ad esso dovuta, nell’appoggio A, sarebbe data dalla formula:

Poiché l’esempio prescrive di calcolare la reazione complessiva dovuta al peso proprio dell’asta ed al peso concentrato, dobbiamo sommare la due reazioni parziali, quella dovuta al peso proprio, e quella dovuta al carico concentrato; avremo perciò la reazione totale:

In questa espressione sostituiamo alle lettere i seguenti valori: q = 30 kg/m; l = 6,00 m; P = 45 kg; b = 4,00 m. Avremo:

In modo analogo troviamo:

Verifichiamo adesso se non siamo incorsi in qualche errore: la somma di tutti i carichi, cioè del peso proprio Q e del carico concentrato P è (180 + 45) kg = 225 kg., La somma delle due reazioni d’appoggio calcolate è V_A + V_B = 120 kg +105 kg = 225 kg, Il calcolo è dunque esatto, poiché lo somma di tutti i carichi è uguale alla somma delle due reazioni di appoggio.

I momenti flettenti nel caso del carico uniformemente distribuito

Dopo aver visto, fino ad adesso, come si calcolano le reazioni degli appoggi di una trave appoggiata sugli stessi e caricata con un carico uniformemente distribuito, vogliamo ora determinare i momenti flettenti che nascono per effetto di tale carico. Abbiamo già studiato, nelle pagine precedenti, come si calcolano i momenti flettenti in una trave sulla quale agiscono diversi carichi concentrati: si immagina di tagliare la trave nel punto, in cui si vuole determinare il momento flettente, e si immagina altresi pure che uno dei tronchi, cosi ottenuti, sia incastrato nella sezione del taglio; si considera quindi il tronco come una trave a sbalzo. Procederemo nello stesso modo per calcolare i momenti flettenti nelle diverse sezioni di una trave su due appoggi con carico uniformemente distribuito. Cominciamo a calcolare il momento flettente nel mezzo della trave: nella fig. (*) è stata rappresentata schematicamente, come al solito, la trave con il suo carico; il carico uniformemente distribuito per ogni metro sia q. Il carico complessivo posto sull’intera lunghezza l della trave sarà dunque Q= q . l . Le reazioni degli appoggi, dovute a questo carico, possiamo calcolarle con la formula:

Immaginiamo ora che la trave venga tagliata nel suo punto di mezzo. Si deve quindi determinare il momento flettente di una trave a sbalzo di lunghezza uguale alla metà della lunghezza della trave data su due appoggi. Questa trave a sbalzo è caricata ad una sua estremità con un carico concentrato, precisamente dalla reazione d’appoggio V_A, e lungo tutta la sua lunghezza con un carico uniformemente distribuito uguale a q per unità di lunghezza fig. (*). Immaginiamo ora il carico uniformemente distribuito su metà della trave riunito in un carico concentrato ed applicato nel punto di mezzo della trave a sbalzo, cioè alla distanza l / 4 dall’incastro immaginario e dalla reazione d’appoggio V_A.

Il carico distribuito sulla lunghezza di trave l / 2 è complessivamente:

Riferendoci alla fig. (*) possiamo ora calcolare il momento flettente nella sezione d’incastro, nel modo che già conosciamo:

Poiché

sostituendo ad V_A il valore dato dal secondo membro di questa uguaglianza, avremo:

Secondo la regola del raccoglimento a fattore comune possiamo raccogliere a fattore comune l’espressione q . l/2 ottenendo in tal modo:

L’espressione racchiusa tra parentesi è uguale ad  l/4, per la qual cosa, in definitiva, avremo:

Facciamo un esempio numerico. In precedenza abbiamo supposto che il peso proprio dell’asta considerata fosse q = 30 kg/m. Il peso proprio costituisce, come già sappiamo, un carico uniformemente distribuito. Quale è la grandezza del momento flettente nella sezione di mezzo dell’asta, dovuto al peso proprio dell’asta stessa?

Per la determinazione del momento flettente nel punto di mezzo della trave abbiamo ricavato ora la formula:

In questa formula, nel nostro caso dobbiamo porre: q = 30 kg/m ed l = 6,00 m, ottenendo quindi:

All’inizio di questo argomento relativo al carico uniforme, abbiamo già detto che un carico uniformemente distribuito può immaginarsi anche come una serie di carichi concentrati di uguale grandezza. Vediamo ora di verificare se otteniamo lo stesso momento flettente, considerando invece del carico uniformemente distribuito questa serie di carichi concentrati. Dividiamo dunque l’intero carico distribuito sulla trave in singoli carichi concentrati, e poniamo ciascuno di questi carichi uguale a q, cioè al carico distribuito su ogni metro di lunghezza della trave. Ogni carico concentrato dovrà immaginarsi applicato alla metà di ogni tratto di trave lungo 1,00 m. Nel nostro caso tali singoli carichi concentrati saranno in numero di 6, e ciascuno sarà uguale a 30 kg fig. (*).

Su ciascuno appoggio verrà quindi a gravare un carico uguale a 3 singoli carichi concentrati applicati alla trave; avremo dunque V_A = V_B = 3 x 30 kg = 90 kg. Il momento flettente nel mezzo dell’asta verrà ancora determinato con il procedimento della sezione

Abbiamo dunque ottenuto lo stesso risultato di prima. Si vede comunque che questo ultimo metodo è molto laborioso. In futuro adopereremo perciò la formula:

Come si presenterà il diagramma dei momenti flettenti relativo ad una trave con carico uniformemente distribuito? Dagli esempi svolti conosciamo già il diagramma dei momenti flettenti di una trave caricata con un certo numero di carichi concentrati di uguale grandezza ed ugualmente distanti fra loro (vedi figura).

Il diagramma dei momenti flettenti dell’asta considerata negli ultimi esempi ha una forma analoga, quando infatti consideriamo il carico uniformemente distribuito suddiviso in 6 carichi concentrati fig. (*). Si calcolerà il momento flettente per ciascuna delle sezioni in corrispondenza alle quali si suppone applicato un carico concentrato, e tale momento verrà riportato, nella scala scelta, perpendicolarmente alla retta orizzontale. Se si congiungono gli estremi di tutti i segmenti che rappresentano i valori dei momenti flettenti calcolati, si ha una linea spezzata che costituisce appunto il diagramma dei momenti flettenti. Se immaginiamo di avere dei carichi concentrati sempre più vicini, anche i vertici della spezzata risulteranno sempre più vicini fra di loro, fino a che si avrà una linea curva continua, senza alcun vertice. Il diagramma dei momenti flettenti per un carico uniformemente distribuito è dunque limitato da una linea curva fig. (*).

Ciò è perfettamente comprensibile, perché, se un carico è uniformemente distribuito (con continuità) sulla lunghezza della trave, non si possono distinguere delle sezioni con carichi concentrati, e quindi anche la linea che limita il diagramma dei momenti flettenti dovrà necessariamente essere una curva continua, senza alcun vertice. Una curva avente una forma come quella rappresentata nella fig. (*) si chiama “parabola”. Nel proseguo avremmo modo di vedere il procedimento per disegnare una parabola. Dalla fig. (*) comunque si può senz’altro rilevare che il massimo momento flettente si ha nella sezione di mezzo della trave; esso viene indicato con M_max (“max” è l’abbreviazione della parola latina “maximum”). Prendiamo quindi nota dell’importante formula che dà il momento flettente massimo in una trave su due appoggi con carico q uniformemente distribuito sulla sua lunghezza:

Da questa formula, dunque, si ottiene il momento flettente in kgm, se si esprime il peso g in kg/m e la lunghezza l in m. Si ottiene invece il momento flettente in kgcm se si esprime il carico in kg/cm e la lunghezza in cm.

Facciamo adesso un ulteriore esempio. Si calcolino, per la trave rappresentata in fig. (*) che porta un carico uniformemente distribuito q = 0,5 t / m e nel mezzo un carico concentrato P = 4,0 t, le seguenti grandezze:

a)       le reazioni degli appoggi

b)       il momento flettente massimo

c)       il momento flettente alla distanza x = 2,00 m dall’appoggio A.

a)       Le reazioni degli appoggi A e B sono uguali di grandezza, e precisamente:

b)       In una trave su due appoggi con carico uniformemente distribuito il massimo momento flettente si ha nel mezzo della trave stessa. Anche per un carico concentrato applicato nel mezzo della trave il massimo momento flettente si trova nel mezzo. In questo caso, in cui si hanno entrambi questi carichi, è evidente che il massimo momento flettente si ha sempre nel mezzo della trave. Il massimo momento flettente dovuto al carico uniformemente distribuito è uguale, come abbiamo visto più sopra, a:

Per effetto del carico concentrato applicato nel mezzo, nella stessa posizione si avrà un momento flettente, uguale a:

Se si hanno contemporaneamente i due carichi, il momento flettente nel mezzo della trave sarà la somma dei momenti flettenti dovuti a ciascuno dei due carichi, cioè :

Sostituendo i valori numerici alle lettere avremo:

Possiamo trovare il massimo momento flettente anche senza ricorrere all’ultima formula adoperata, e impiegando invece il noto procedimento della sezione: in tal modo però il calcolo riesce più laborioso, come ci accingiamo a constatare. Quindi immaginiamo la trave spezzata a metà in due tronchi, e consideriamo il tronco a sinistra come una trave incastrata nella sezione dove si è immaginato di effettuare il taglio fig. (*). All’estremità di questa metà della trave agisce la reazione di appoggio V_A, la cui grandezza, come abbiamo già calcolato, è, per effetto dei due carichi, uguale a 4 t. Questa forza agisce ad una distanza l / 2 = 4,00 m dall’incastro immaginato e tende a fare girare il tronco di trave verso destra; essa dà luogo quindi, nell’immaginata sezione di taglio, ad un momento flettente di:

Inoltre, sullo stesso tronco di trave, agisce il carico uniformemente distribuito q = 0,5 t/m su una lunghezza di 4,00 m. Il carico complessivo distribuito su queste tronco è dunque: 

Al posto di questo carico uniformemente distribuito di 2 t possiamo immaginare applicato un carico concentrato di 2 t a metà del tronco stesso, cioè a 2,00 m di distanza dall’appoggio A fig. (*). Questo carico, tende a fare ruotare con un braccio di leva l / 4 = 2,00 m il tronco di trave attorno all’immaginaria sezione d’incastro verso sinistra; dà luogo quindi nella sezione stessa ad un momento flettente: 

Sommando questi due momenti massimi calcolati avremo il massimo momento flettente complessivo

un risultato uguale a quello precedente.

c)       Calcoliamo ora il momento flettente alla distanza x = 2,00 m dall’appoggio A. Questo momento flettente viene calcolato nello stesso modo con cui abbiamo calcolato ora il momento flettente a metà della trave. Immaginiamo cioè di sezionare la trave alla distanza di m 2,00 dall’appoggio A e consideriamo il tronco a sinistra, cosi ottenuto, come una trave a sbalzo incastrata nella sezione del taglio immaginario fig. (*).

Dato che il calcolo è del tutto analogo a quello svolto al punto b), possiamo scrivere senza difficoltà le seguenti uguaglianze:

Il disegno del diagramma dei momenti flettenti in una trave con carico uniformemente distribuito

Mostriamo ora, con un esempio pratico, di come si disegna la parabola che limita il diagramma dei momenti flettenti in una trave con carico uniformemente distribuito. Questa curva si può determinare sia graficamente, sia con il calcolo. Applicheremo entrambi i metodi. Prendiamo come al solito, una trave su due appoggi, distanti fra di loro m 8,00, è caricata con un carico uniformemente distribuito q = 1,2 t/m. Quindi, si disegni il diagramma dei momenti flettenti.

Soluzione grafica

Nella fig. (*) abbiamo rappresentato schematicamente la trave, in scala 1:100. Come sempre, quando si deve rappresentare un diagramma dei momenti flettenti, tracciamo anzitutto, al di sotto della trave, una retta orizzontale (la retta C – D nella fig. *); chiameremo questa retta “retta di chiusura”. Al centro del segmento C – D, cioè nel punto E, riportiamo verticalmente, verso il basso, un segmento che rappresenta il momento flettente massimo. Esso, secondo la formula (*) è di grandezza:

Come scala per il disegno dei momenti porremo 1 mm = 0,2 tm, cosicché dovremo rappresentare il momento 9,6 tm con un segmento lungo 48 mm, Segniamo dunque E – F = 48 mm. Questo segmento viene contraddistinto di solito con la lettera f, e viene detto “freccia della parabola”. Per i punti di estremità C e D della retta di chiusura conduciamo due segmenti verticali, verso il basso, C – G e D – H con lunghezza uguale a quella di f. Si congiungono quindi i punti G ed H con un segmento rettilineo, in modo da formare il rettangolo CGHD. Dividiamo poi il segmento C – E in un qualsiasi numero di parti di uguale grandezza. In questo esempio dividiamo il segmento in 4 parti. Poiché il segmento C – E corrisponde ad un tronco di trave della lunghezza di 4,00 m, nella scala delle lunghezze, che abbiamo stabilito 1 : 100, ogni suddivisione del segmento in 4 parti risulterà uguale a

Nei punti di divisione, che abbiamo indicato con 1, 2, 3, conduciamo pure, verso il basso, dei segmenti verticali, fino ad intersecare il segmento G – H. Ora anche il segmento C – G viene suddiviso nello stesso numero di parti in cui è stato suddiviso il segmento C – E. I punti di divisione vengono indicati con 1′, 2′ 3′.

Congiungiamo ora questi punti con il punto F. Il segmento F – 1′ interseca il segmento verticale, abbassato dal punto 1 della retta di chiusura, in un punto che abbiamo contraddistinto con un piccolo cerchietto e che abbiamo indicato con I. Analogamente il segmento F – 2′ interseca il segmento verticale abbassato dal punto 2 della retta di chiusura nel punto II, ed il segmento F – 3′ interseca il segmento verticale abbassato da 3 nel punto III. Abbiamo con ciò trovato tre punti della parabola che possiamo disegnare, precisamente i punti I. II e III. La metà a sinistra della parabola passa quindi da C per i punti I, II e III fino ad F. Possiamo adesso a mano libera, o con I’aiuto di un curvilineo, congiungere questi punti con opportuni tratti di linee curve. Nel fare ciò possiamo tenere anche presente che la parabola nel “vertice” F è tangente alla retta orizzontale G – H, che cioè G – H è la tangente alla parabola nel suo vertice o culmine. Esattamente come per la metà sinistra, possiamo procedere nel trovare i punti corrispondenti l‘, II‘ e III‘ della metà destra della parabola. Più semplicemente, però, possiamo trovare tali punti conducendo, come è indicato nella fig. (*), delle rette orizzontali passanti per i punti I, II e III segnando su di esse i punti simmetrici rispetto alla verticale E – F. Questa verticale E – F costituisce quindi la retta di mezzeria della parabola, cioè il cosiddetto “asse della parabola”. Se avessimo suddiviso il segmento C – E, e perciò anche il segmento C – G, non in quattro, ma in un numero maggiore di parti uguali, avremmo individuato anche un maggior numero di punti della parabola e ci sarebbe perciò riuscito più facile tracciare gli archi di collegamento fra i singoli punti; in altre parole la parabola sarebbe riuscita ancoro più precisa. Dopo aver disegnato la parabola, possiamo rilevare la grandezza del momento flettente in un qualsiasi punto della trave. A tale scopo non dobbiamo fare altro che misurare, nel punto corrispondente del diagramma dei momenti flettenti, la lunghezza del segmento verticale congiungente la retta di chiusura con la parabola. Stabiliamo di indicare, in generale, le lunghezze di questi segmenti con la lettera y. Nell’esempio abbiamo che y₁ = 21,0 mm. Poiché la scala dei momenti stabilita è 1 mm = 0,2 tm, nella posizione 1 della trave avremo il momento flettente M₁ = 21,0 x 0,2 tm = 4,2 tm. Analogamente troviamo: y₂ = 36,0 mm; per la quale cosa M₂ = 36,0 x 0,2 tm = 7,2 tm e y₃ = 45,0 mm, cosicché M₃ = 45,0 x 0,2 tm = 9,0 tm.

Soluzione analitica mediante calcolo

Le lunghezze dei segmenti y₁, y₂, ….ecc. vengono dette “ordinate della parabola”, e possono essere calcolate mediante la tabella seguente. L’impiego della tabella riuscirà chiaro, risolvendo il precedente esempio con l’aiuto della tabella stessa.

Immaginiamo, come in precedenza abbiamo già fatto, di suddividere il segmento C – E in 4 parti uguali. Perciò dovremo adoperare i coefficienti della tabella che si trovano nella colonna segnata in alto con la cifra 4. In questa colonna sono indicati tre numeri, dei quali, il primo (0,438) va impiegato per calcolare l’ordinata corrispondente al punto 1, il secondo (0.750) per calcolare l’ordinata corrispondente al punto 2, il terzo (0,938) per calcolare l’ordinata corrispondente al punto 3. Questi numeri debbono essere moltiplicati per la lunghezza del segmento f, cioè, nel nostro caso, per 48,0 mm. Avremo dunque:

Le lunghezze cosi calcolale y₁, y₂ e y₃ concordano con le lunghezze che si possono misurare sulla figura dei segmenti 1-I, 2-II e 3-III. Riportando le lunghezze calcolale di questi tre segmenti verticalmente verso il basso, a partire dai punti 1, 2 e 3 della retta di chiusura, troviamo di nuovo i punti della parabola I, II e III, che possono essere trasportati, come prima, a destra della mezzeria. Abbiamo così trovato 6 punti della parabola, ai quali si possono aggiungere anche i punti C, D e F, che sono pure punti appartenenti alla parabola. Congiungendo questi punti con opportuni tratti curvilinei avremo completato il disegno della parabola. Come è ben chiaro, questo procedimento per il disegno della parabola è molto rapido e comodo. Invece che in quattro parti, avremmo potuto suddividere la metà della parabola in un numero maggiore di parti, ad esempio, in otto. In questo caso, avremmo dovuto moltiplicare la freccia f = 48 mm per i coefficienti della tabella indicati nella colonna contraddistinta in alto con la cifra 8. In tale modo avremmo ottenuto sette ordinate per ogni metà della parabola. La congiunzione dei punti di estremità delle ordinale sarebbe riuscita più facile e la curva ottenuta sarebbe risultata più precisa. Possiamo adesso chiederci come sono stati calcolati i coefficienti della tabella, che servono per ottenere le ordinate della parabola. È infatti molto utile conoscere la formula che serve al loro calcolo. E ciò perché, mediante tale formula, non occorre disporre sempre della tabella per eseguire il disegno di una parabola per un qualsiasi diagramma dei momenti flettenti, e, inoltre, perché di frequente non occorre affatto disegnare l’intera parabola, ma è sufficiente conoscere i valori dei momenti flettenti in singoli punti della trave. Vediamo perciò ora di ricavare questa formula che ci servirà per il Calcolo dei momenti flettenti in qualsiasi punto di una trave su due appoggi con carico uniformemente distribuito. Come abbiamo visto in precedenza, le due reazioni degli appoggi di una trave con carico uniformemente distribuito, come pure nel caso di ogni carico simmetrico, sono uguali, e sono date precisamente, dalla formula:

Per trovare il massimo momento flettente, cioè il momento flettente nel mezzo della trave, abbiamo fin qui  immaginato, secondo il procedimento della sezione, di tagliare nel mezzo la trave e di considerare il tronco a sinistra, cosi ottenuto, come incastrato nella sezione del taglio immaginario. Su questa trave a sbalzo cosi incastrata, agiscono due forze uguali e precisamente la reazione di appoggio

diretta verso l’alto, ed il carico sulla trave dall’appoggio fino al punto di mezzo, pure di grandezza 

ma diretto verso il basso. Il massimo momento flettente viene quindi ottenuto calcolando i due momenti flettenti dovuti a queste due forze, nel mezzo della trave (cioè nella sezione di taglio-immaginario) e sommandoli.

Consideriamo la figura seguente. In modo analogo dobbiamo procedere, quando vogliamo calcolare il momento flettente in un qualsiasi altro punto x della trave, posto alla distanza x dall’appoggio A, e quindi alla distanza x’ = l – x dall’appoggio B. Si ha quindi la seguente espressione per il momento flettente nel punto x:

Il membro a destra di questa uguaglianza è una differenza di due prodotti aventi un fattore comune

infatti il primo termine può essere scritto

ed il secondo

Quindi, come nell’uguaglianza 7.3-4.3=9, raccogliendo a fattore comune il numero 3 possiamo scrivere 3.(7-4)=9, anche nell’uguaglianza che dà M_x possiamo raccogliere a fattore comune, ponendola fuori parentesi, l’espressione

e scrivere:

Questa formula è molto importante e viene frequentemente impiegata. Essa è la formula generale che dà i momenti flettenti delle travi su due appoggi con carico uniformemente distribuito. Essa naturalmente deve valere per ogni punto della trave e quindi anche per il punto di mezzo, per il quale x è uguale ad l / 2. Verifichiamo se ciò sia vero e, a questo scopo, nella formula anzidetta, mettiamo in luogo di x il valore l / 2; otterremo:

cioè la stessa espressione ottenuta precedentemente.

L’equazione della parabola per i diagrammi dei momenti flettenti

Con la formula appena vista possiamo dunque calcolare il momento flettente M_x in qualsiasi punto X di una trave su due appoggi con carico uniformemente distribuito, quando siano noti la portata l, o distanza fra gli appoggi della trave, il carico q per ogni unità di lunghezza e la distanza x dal punto X dall’appoggio A. Da questa formula si può ricavare, in modo molto semplice, l’equazione della parabola del diagramma dei momenti flettenti, cioè l’equazione mediante la quale si può calcolare qualsiasi ordinata di detta parabola. Per ricavare tale equazione ci riferiremo alla fig. (*); in essa notiamo quanto segue:

Il momento flettente M_x della trave corrisponde alla ordinata y della parabola del diagramma dei momenti; la portata l corrisponde alla lunghezza del segmento di chiusura C – D, le distanze x dell’appoggio A ed x’ dall’appoggio B corrispondono ai segmenti C – X ed X – D del segmento di chiusura. Riassumendo al posto di M_x possiamo sostituire y, al posto di l, C – D, al posto di x, C – X e al posto di (l – x) = x^I possiamo porre X – D. Ora dobbiamo trovare una relazione che leghi il carico per unità di lunghezza q alla parabola dei momenti flettenti. Ciò non è difficile; sappiamo già che la freccia f della parabola corrisponde al momento flettente massimo

la grandezza f, relativa alla parabola, corrisponde al valore

e quindi al posto di q possiamo porre

Possiamo ora calcolare le ordinate y della parabola nel seguente modo:

oppure

Poiché i segmenti C – D, C – X ed X – D, sulla retta di chiusura, corrispondono, tenuto conto della scala delle lunghezze, alle lunghezze di tratti di trave o della trave stessa (tutte le lunghezze relative alla trave sono state infatti disegnate, ad esempio, nella scala 1 : 100), al posto del rapporto fra segmenti della retta di chiusura, cioè al posto di

si può scrivere il rapporto delle corrispondenti lunghezze di trave, cioè

Abbiamo con ciò trovato la forma definitiva, comunemente usata, dell’equazione della parabola del diagramma dei momenti flettenti, Essa è:

Con questa formula possiamo calcolare le ordinare y, quando sono note la portata l della trave, le distanze del punto X dagli appoggi A e B, cioè x ed x^I, e la freccia f. Questa è pure la formula con la quale sono stati calcolali i coefficienti della tabella precedente. Abbiamo già visto, infatti, che questi coefficienti debbono essere moltiplicati per la freccia f. Se osserviamo la formula, ci accorgiamo che i coefficienti della tabella sono i valori calcolati dell’espressione

Possiamo verificare questa affermazione con il seguente esempio: Si calcoli, per la trave rappresentata nella fig.(*) l’ordinata y₂ della parabola del diagramma dei momenti flettenti, ordinata che abbiamo già una volta determinato, misurandola direttamente sul diagramma, ed una seconda volta, calcolandola mediante i coefficienti della tabella.

Il punto 2 è distante dall’appoggio A di una lunghezza x = 2,00 m e dall’appoggio B di una lunghezza x^I =  6,00 m. Inoltre sono noti la portata della trave o distanza fra gli appoggi l = 8,00 m, il carico per metro lineare q = 1,2 t/m e la freccia f = 48 mm, corrispondente al momento flettente massimo. Questi valori numerici vengono sostituiti ai rispettivi simboli nell’equazione della parabola:

Abbiamo dunque che questo risultato coincide con quello ottenuto graficamente ed anche con quello calcolato, utilizzando i coefficienti della tabella. Ora facciamo un ulteriore esempio, utilizzando i due metodi di soluzione, per constatare quale dei due nel caso considerato è più semplice. Consideriamo una trave su due appoggi della portata di 8,00 m e che ha un peso proprio q = 1,2 t/m. Inoltre essa porta un carico utile uniformemente distribuito p = 0,8 t/m. Si disegni il diagramma dei momenti flettenti, precisando poi le grandezze dei momenti flettenti nei punti distanti fra di loro 0,50 m a partire dagli appoggi fig. (*). Il carico complessivo per ogni metro lineare della trave è Q = q + p = (1,2 + 0,8) t/m = 2,0 t/m. Il momento flettente massimo si ricava dalla formula:

Determiniamo adesso, graficamente e con il calcolo, i valori del momento flettente nei punti precisati ovvero nei punti distanti fra di loro 0,50 m:

1 Soluzione grafica:

La soluzione grafica è rappresentata nella fig.(*). Non è necessario dare altre spiegazioni a riguardo, perché tale metodo è già stato ampiamente esposto in precedenza. Come scala dei momenti scegliamo: 1 mm = 0,5 tm, ossia 1 tm = 2 mm. Poiché il momento flettente massimo è di 16 tm, la freccia della parabola sarà 16 x 2 mm = 32 mm. Poiché una metà della trave è lunga m 4,00, e poiché sono richiesti i valori dei momenti flettenti in punti distanti fra di loro 0,50 m, la metà lunghezza della trave deve essere divisa in 8 parti uguali. Quindi, troveremo i diversi punti della parabola nel modo che abbiamo già visto, e misureremo dopo le lunghezze delle ordinate nei vari punti:

Poiché la scala dei momenti flettenti è 1 mm = 0,5 tm, le grandezze dei momenti flettenti saranno:

Utilizziamo adesso nuovamente la tabella:

Poiché ogni mezza parabola è suddivisa in 8 parti, dobbiamo usare i coefficienti indicati nella colonne che porta in alto la cifra 8, moltiplicando per essi la freccia f = 32 mm. Otterremo cosi le ordinate della parabola in mm, e poiché 1 mm corrisponde a 0.5 tm, moltiplicando queste ordinate per 0,5 otterremo i momenti flettenti nei punti della trave indicati nell’esempio. Avremo dunque:

Le piccole differenze fra i risultati ottenuti con la risoluzione grafica e quelli ottenuti con il calcolo dipendono dal fatto che, nel riportare e leggere le lunghezze sui disegni non si può tener conto dei centesimi di millimetro. I risultati ottenuti con il calcolo sono perciò più precisi. Se in un calcolo statico occorre che i risultati siano molto precisi, si deve quindi preferire il calcolo alla soluzione grafica. Come esempio sull’impiego della formula generale che dà il momento flettente in qualsiasi sezione delle travi su due appoggi con carico uniformemente distribuito, risolviamo il seguente esempio. Si calcoli il momento flettente di una trave di 4 m di lunghezza alla distanza x = 1,4 m dall’appoggio A. Il carico uniformemente distribuito è q = 500 kg/m.

Poiché in questo esempio non si debbono determinare le ordinate della parabola del diagramma dei momenti flettenti, ma solo un singolo momento flettente in una determinata posizione, conviene impiegare la formula generale usata per il calcolo dei momenti flettenti. Per fare questo abbiamo già ricavato precedentemente la formula:

ricordiamo che questa formula del tutto generale permette il calcolo dei momenti flettenti nelle travi a due appoggi sottoposte ad un carico uniformemente distribuito in qualsiasi punto della stessa. Nell’esempio da risolvere abbiamo che q = 500 kg/m; x = 1,40 m ed ( l – x ) = (4,00 – 1,40) m =  2,60 m. Sostituiremo questi valori nella formula e otteniamo:

La trave a sbalzo con carico uniformemente distribuito

La trave a sbalzo è già stata esaminata. Abbiamo però fino a questo momento considerato solo delle travi a sbalzo con carichi concentrati. E ci siamo occupati di determinare i momenti flettenti della trave per questa condizione di carico constatando che il diagramma dei momenti flettenti è limitato da segmenti rettilinei, e che in corrispondenza dei carichi concentrati si hanno dei vertici della spezzata che limita la superficie del diagramma. Non abbiamo però ancora detto come si presenta il diagramma dei momenti flettenti nel caso di una trave a sbalzo con carico uniformemente distribuito, ed è di ciò che ci occuperemo qui di seguito.

Il calcolo del momenti flettenti

La trave a sbalzo rappresentata nella fig. (*) è di lunghezza l e porta il carico uniformemente distribuito q. Per potere calcolare il momento flettente nella sezione di incastro A immaginiamo che il carico complessivo uniformemente distribuito sia sostituito da un carico concentrato di uguale grandezza, cioè di grandezza q x l, e che sia applicato alla metà della lunghezza l, cioè alla distanza l / 2 dalla sezione di incastro A fig. (*).

Secondo la regola già esposta in precedenza, per attribuire i segni + e – ai momenti flettenti; rileviamo che tutti i momenti flettenti che agiscono su questa trave a sbalzo sono negativi, poiché la forza che li genera è diretta dall’alto verso il basso. Quando nelle pagine precedenti, abbiamo studiato come calcolare i momenti flettenti nelle travi a sbalzo e disegnato i relativi diagrammi, non abbiamo potuto tenere conto dell’importante regola sui segni dei momenti flettenti, poiché essa non era stata ancora spiegata. Per tale ragione, e per semplicità di esposizione, abbiamo sempre disegnato i diagrammi dei momenti flettenti al di sotto della retta di chiusura. Possiamo però adesso constatare che tutti questi momenti flettenti agenti sulla trave a sbalzo sono negativi, e per tale ragione debbono essere disegnati al di sopra della retta di chiusura. Pertanto, considerando la regola sui segni dei momenti flettenti, possiamo adesso disegnare sempre i diagrammi dei momenti positivi al di sotto della linea di chiusura ed i diagrammi dei momenti negativi al di sopra della stessa. È evidente che, anche nel calcolo, dovremo sempre indicare accanto al valore del momento flettente il suo giusto segno. Per la trave a sbalzo rappresentata nella fig. (*) il momento all’incastro cercato è dunque:

Abbiamo così trovato la formula per il calcolo del momento flettente nella sezione di incastro:

Conosciamo adesso la grandezza del momento flettente, non solo nella sezione d’incastro, ma anche all’estremità della trave a sbalzo, perché sappiamo che in tale estremità libera non vi può essere alcun momento flettente, e quindi il suo valore è uguale a 0. Quale sarà I’andamento della linea che delimita il diagramma dei momenti flettenti fra la sezione d’incastro e l’estremità libera? Per determinare tale linea, cerchiamo il momento flettente che si ha in qualsiasi punto situato alla distanza x dall’estremità libera della trave a sbalzo fig. (*). Immaginiamo che a tale distanza x dall’estremità libera la trave venga idealmente tagliata ed il tronco compreso fra il taglio e l’estremità sia incastrato nella posizione X. Il carico applicato al tronco tagliato della trave è q.x; esso agisce come un carico concentrato applicato alla metà del tronco di lunghezza x, cioè alla distanza x/2 dalla sezione di taglio. Il momento flettente in tale sezione, che indichiamo con M_x  è evidentemente negativo ed è di grandezza:

Poiché questa formula dà il momento flettente in qualsiasi punto di una trave a sbalzo con carico uniformemente distribuito, ed ha quindi valore generale, vogliamo metterla in evidenza:

La formula precedente di M_A può essere ottenuta dalla formula di M_X ponendo x = l.

Il disegno del diagramma del momenti flettenti

Sappiamo ora come si calcola il momento flettente in qualsiasi sezione di una trave a sbalzo con carico uniformemente distribuito. Se vogliamo rappresentare graficamente questi momenti nel modo già noto, dobbiamo tenere presente quanto segue: che i momenti flettenti possono essere negativi o positivi, che i valori dei momenti flettenti positivi debbono essere riportati nel diagramma al di sotto della linea di chiusura e quelli negativi al di sopra. Nelle travi su due appoggi finora considerate abbiamo, perciò sempre disegnato il diagramma dei momenti flettenti al di sotto della linea di chiusura. Nelle travi a sbalzo avviene il contrario: i momenti flettenti sono negativi, ed il diagramma relativo viene a trovarsi, perciò, a partire dalla retta orizzontale di chiusura (G-F nella fig. *) al di sopra della stessa.

Se ora calcoliamo i momenti flettenti per diversi punti della trave a sbalzo e li riportiamo graficamente al di sopra di una linea orizzontale, otterremo il diagramma dei momenti flettenti rappresentato nella fig. (*). Come si può vedete, questo diagramma è limitato da una linea curva, e precisamente da un tratto di parabola. Le linee a tratti nella fig. (*) mostrano chiaramente che detta curva è la metà di una parabola, cioè la curva che abbiamo già imparato a disegnare nel caso delle travi su due appoggi. Nella fig. (*), per chiarezza, il diagramma dei momenti flettenti è stato tratteggiato; inoltre è stato indicato in esso il segno (-), poiché non ci si deve dimenticare che si tratta di momenti flettenti negativi. Facciamo adesso un esempio numerico e allo scopo consideriamo una trave a sbalzo lunga 2,00 m fig. (*) è caricata con un carico uniformemente distribuito di 800 kg/m. Si disegni il diagramma dei momenti flettenti nella scala 1 cm = 500 kgm. Per fare ciò dividiamo la trave a sbalzo in quattro parti uguali, in modo che fra i singoli punti di suddivisione vi sia una distanza di 0,50 m. Dopo calcoliamo i momenti flettenti in tali punti di suddivisione, applicando le formule:

Riportiamo graficamente i valori di questi momenti flettenti nella scala scelta 1 cm = 500 kgm, verticalmente, verso l’alto, a partire dalla retta orizzontale G – F; otterremo cosi la parabola che delimita il diagramma dei momenti flettenti, come è disegnata nella fig. (*). Possiamo constatare in modo molto semplice che si tratta della stessa parabola che si ha nel caso del diagramma dei momenti flettenti di una trave su due appoggi di lunghezza doppia, cioè lunga 4,00 m, e con uguale carico uniformemente distribuito. La parabola del diagramma dei momenti flettenti per una trave a sbalzo può perciò essere determinata come quella per una trave su due appoggi di doppia lunghezza; di questa parabola nel caso della trave a sbalzo se ne considera però solo una metà. Immaginiamo che il segmento C – E della fig. (*) sia la metà della linea di chiusura (confrontiamo con la fig. *); al di sotto del punto E avremo quindi un segmento che rappresenta il momento flettente di 1600 kgm e che è la freccia della parabola. Per i rimanenti punti le ordinate della parabola rappresenteranno i momenti flettenti calcolati mediante i coefficienti dati dalla tabella utilizzata per il calcolo delle ordinate della parabola:

Dalla fig.(*) possiamo rilevare che questi momenti flettenti M^I, sono rappresentati da segmenti verticali riportati al di sotto della linea C – E (che sono ordinate della parabola), e che essi, insieme ai momenti flettenti che si hanno nella trave a sbalzo, formano un momento flettente di 1600 kgm. Da ciò si vede anche che il diagramma dei momenti flettenti per le travi a sbalzo si può determinare anche usando i coefficienti della tabella per il calcolo delle ordinate della parabola. I punti della parabola possono essere determinati anche graficamente, come abbiamo già visto a proposito delle travi su due appoggi. Se adesso, ad esempio, confondiamo la fig. (*) con la fig. (*), possiamo comprendere senz’altro come deve essere applicato il procedimento grafico nel caso delle travi a sbalzo.

La trave su due appoggi con carico parziale uniformemente distribuito

Fin qui ci siamo occupati delle travi con carico uniformemente distribuito. Abbiamo anzitutto considerato le condizioni di carico, per le quali il carico è uniformemente distribuito su tutta la lunghezza della trave, cioè da appoggio ad appoggio. Abbiamo anche brevemente accennato al caso di carico uniformemente distribuito parziale, cioè al caso in cui esso non si estende su tutta la lunghezza della trave, ma solo su un tratto di essa. Questa condizione di carico si verifica frequentemente nelle costruzioni di strutture e vogliamo perciò spiegarla riferendoci ad un esempio pratico. Consideriamo anzitutto il caso più semplice, cioè quello di un carico uniformemente distribuito parziale e simmetrico: immaginiamo di togliere dalla trave rappresentata nella fig. (*) caricata su tutta la lunghezza con sacchi di sabbia, tre di questi sacchi da ciascuna delle due estremità; otterremo perciò un carico uniformemente distribuito parziale, e precisamente distribuito su una lunghezza c, ed uguale a P = q . c, dove q è sempre il carico applicato sulla lunghezza unitaria (metro oppure centimetro) fig. (*). Poiché il carico parziale è distribuito simmetricamente, possiamo dire senz’altro, senza eseguire alcun calcolo, che le reazioni degli appoggi sono uguali fra di loro, e precisamente:

Il massimo momento flettente si ha sulla mezzeria della trave, e ciò perché possiamo immaginare che il carico uniformemente distribuito sia riunito in un unico carico P sulla mezzeria della trave, dato che il carico distribuito è simmetrico. Il diagramma dei momenti flettenti per questo unico carico concentrato è costituito dal triangolo che, nella fig. (*), abbiamo indicato con A-B-C. Come già sappiamo, il momento flettente massimo dovuto ad un carico concentrato sulla mezzeria della trave è:

Quando però il carico è distribuito su un certo tratto della trave, il momento flettente a cui esso dà luogo è evidentemente minore di quello dovuto ad uno stesso carico concentrato in un punto, sulla mezzeria della trave. Il diagramma costituito dal triangolo A-B-C non rappresenterà perciò più il vero diagramma dei momenti flettenti. Il diagramma triangolare dei momenti flettenti disegnato nella fig. (*) coincide con quello reale dovuto ad un carico parziale solo per i tratti della trave, i quali non portano alcun carico. In corrispondenza della parte centrale della trave, la quale è uniformemente caricata, il diagramma dei momenti flettenti deve avere la forma di una parabola. Disegniamo quindi adesso questo tratto di parabola, ed a tale scopo escludiamo dal triangolo A-B-C le parti situate in corrispondenza dei tratti di trave non caricati; tali parti del triangolo rappresentano proiezioni dell’effettivo diagramma dei momenti flettenti. Per fare ciò abbassiamo, dai limiti estremi del tratto di trave caricato, due rette verticali, le quali intersecheranno la linea di chiusura A-B fig. (*) nei punti 1 e 5, ed i lati A-C e B-C del triangolo nei punti 1′ e 5′. Si tratta ora di disegnare fra i punti 1′ e 5′ la parabola che limita il diagramma dei momenti flettenti per il tratto di trave uniformemente caricato. Ciò può esser fatto in diversi modi: Possiamo considerare come una trave a sé il tratto di trave uniformemente caricato, considerandolo precisamente una trave su due appoggi caricata uniformemente su tutta la sua lunghezza fino agli appoggi. Per tale trave possiamo quindi disegnare il diagramma dei momenti flettenti parabolico fig. (*). La retta di chiusura 1″ e 5” corrisponde al segmento 1′ 5′, cosicché possiamo trasportare semplicemente la parabola dalla fig. (*d) nella fig. (*c). Nel fare questo dobbiamo però badare a quanto segue: poiché si vuole qui spiegare semplicemente il principio, in, base al quale si costruisce il diagramma dei momenti flettenti, non abbiamo considerato, nell’esempio che stiamo svolgendo, alcun preciso valore numerico, ma abbiamo solo supposto il momento massimo pari a:

riportandolo nella fig. (*c). Se però la porzione di parabola disegnata nella fig. (*d) deve essere trasportata a completare la parte di diagramma dei momenti flettenti AB 5’ 1’ nella fig. (*c), il momento rappresentato dal segmento 3″ F, nella fig. (*d), non può essere scelto arbitrariamente, ma deve essere precisamente: 3″ F = 3′” 3′ = 3′ C, da cui si ricava 3″ F = 3′” C / 2. Ciò risulterà senz’altro chiaro riflettendo su quanto segue:

La trave è uniformemente caricata sulla sua parte centrale di lunghezza c. Se consideriamo questo tratto di trave come una trave a sé ed immaginiamo di concentrare il carico distribuito sulla lunghezza c in un unico carico P applicato sulla mezzeria della trave, il massimo momento flettente, che ne risulterebbe, sarebbe:

dove, nel nostro caso, l = c.

Il massimo momento flettente dovuto ad un carico uniformemente distribuito sarà: 

In questa formula, applicata sul tratto di trave considerato, dobbiamo sostituire il seguente valore l = c. Si avrà quindi: 

Poiché però q . c=P potremo scrivere:

Il massimo momento flettente dovuto ad un carico uniformemente distribuito su tutta la lunghezza della trave è quindi uguale alla metà del momento flettente dovuto ad un carico totale uguale, ma concentrato sulla mezzeria della trave. Riferendoci alla fig. (*c), ciò significa, come abbiamo già detto, che il segmento 3′” 3′ è uguale alla metà del segmento 3′” C. La parabola che rappresenta la porzione di diagramma dei momenti flettenti relativa alla parte centrale caricata della trave, può essere costruita anche in un altro modo, partendo dal triangolo A-B-C precedentemente disegnato. Nella fig. (*c) tracciamo anzitutto la retta di collegamento 1′ 5′, e dividiamo il segmento 1′ 5′ in un numero qualsiasi di parti uguali. Nella fig. (*c) lo abbiamo diviso in 4 parti uguali, ottenendo così i punti 2″‘, 3′” e 4″‘. Da questi punti abbassiamo delle rette perpendicolari alla retta di chiusura, verso il basso. Dividiamo adesso i segmenti 1′-C e 5′-C in un numero di parti uguali fra di loro come il segmento 1′ 5′; i punti di divisione siano chiamati I, II e III e I’, II’ e III’. Congiungiamo adesso l con III’, Il con II’ e III con I’. Le intersezioni di questi segmenti di collegamento con le corrispondenti linee verticali danno i punti della parabola 2′, 3′ e 4′. Il punto 3′ è anche il vertice della parabola, la cui distanza 3′-3 dalla retta di chiusura dà in scala il valore del momento flettente massimo dovuto al carico della trave. Si vede che questo momento è minore del momento rappresentato da 3-C, che si avrebbe se il carico totale P fosse concentrato sulla mezzeria della trave. Dalla fig. (*c) possiamo adesso senz’altro ricavare la formula che dà il momento flettente massimo dovuto ad un carico parziale uniformemente distribuito e simmetricamente disposto rispetto alla mezzeria della trave: tale momento massimo si ottiene sottraendo dal momento

 il momento

si avrà precisamente:

Se infine raccogliamo a fattore comune P/2, otteniamo la formula come viene comunemente usata:

Da questa formula si può anche dedurre che, per un dato carico P ed una data distanza l fra gli appoggi, il momento flettente diventa tanto minore, quanto maggiore è il tratto c sul quale il carico è distribuito. Se c aumenta fino a diventare uguale a l, l’espressione racchiusa fra parentesi diventerà:

e quindi:

abbiamo cioè ritrovato la formula che dà il momento flettente massimo dovuto ad un carico distribuito su tutta la lunghezza della trave.

Nella fig. (*) si può chiaramente osservare che il massimo momento flettente si ha in corrispondenza del centro di gravità S del carico (punto centrale). Ciò si verifica però solo quando il carico parziale è disposto simmetricamente. In pratica, accade frequentemente che il carico non sia disposto esattamente in mezzo alla trave, ma sia spostato verso uno degli appoggi. Studieremo questa condizione di carico, riferendoci ad un esempio pratico, cioè esaminando come viene ad essere sollecitata la trave ad I. Nella fig. (*) rappresentiamo graficamente questa condizione di carico ed indichiamo tutte le misure ed carichi necessari a conoscersi per il calcolo. Dobbiamo quindi risolvere il seguente esempio. Il serbatoio pieno d’acqua ha un peso totale G = 8000 kg, ed esso viene sopportato da due travi ad I, per la quale cosa ogni trave deve sopportare un carico distribuito uniformemente su un certo tratto; questo carico ha un valore totale P = 4000 kg. La distanza fra gli appoggi della trave è l = 6300 mm; il tratto su cui il carico è uniformemente distribuito ha una lunghezza c = 3000 mm, e la distanza della parete sinistra del serbatoio dall’appoggio A è d = 1150 mm. Quale è il necessario momento resistente delle travi, e quale profilo dobbiamo scegliere per esse?

Anzitutto dobbiamo determinare, come sempre, le reazioni degli appoggi. A tale scopo immaginiamo il carico P concentrato nel centro di gravità S del serbatoio pieno. II modo con cui si determina il centro di gravità di superfici e di corpi verrà spiegato in uno dei prossimi capitoli. Per questo caso ci basta dire che il centro di gravità si trova a metà lunghezza del serbatoio, cioè distante 1500 mm dalle sue pareti verso gli appoggi. Il carico P agisce dunque ad una distanza a = 2650 mm dall’appoggio A e ad una distanza b = 3650 mm dall’appoggio B. Abbiamo cosi tutte le misure necessarie per rappresentare schematicamente il problema statico fig. (*b). Calcoliamo ora le reazioni degli appoggi, esprimendo il carico in kg e le lunghezze in cm, con le formule:

Verifica: deve essere V_A + V_B = P e quindi 2320 kg + 1680 kg = 4000 kg. Esatto!

II massimo momento flettente deve essere calcolato nella sezione più pericolosa X-X. Questa sezione però, nel caso di un carico uniformemente distribuito parziale disposto asimmetricamente rispetto agli appoggi, non si troverà sotto il centro di gravità S del carico, come nell’esempio precedente, in cui si aveva un carico simmetrico, ma si troverà un po spostata verso l’appoggio più distante dal carico. Indichiamo la distanza della sezione più pericolosa X-X dall’appoggio sinistro con x (cm), la lunghezza del tratto di trave caricato con c (cm), la distanza dell’estremità a sinistra del carico parziale dall’appoggio sinistro con d (cm), il carico complessivo uniformemente distribuito su un tratto di trave con P (kg), e la reazione d’appoggio a sinistra con V_A (kg); la distanza x sarà data dalla formula:

Introducendo in questa formula i relativi valori numerici, avremo:

Per la determinazione dei momento flettente massimo impieghiamo il procedimento della sezione, e quindi immaginiamo di tagliare ed incastrare la trave in corrispondenza della sezione X-X. Considereremo poi la parte sinistra della trave come una trave a sbalzo incastrata ad un estremo, sulla quale è rimasto il carico parziale uniformemente distribuito P’. Immagineremo che anche questo carico parziale uniformemente distribuito sul tratto di lunghezza (x-d) sia sostituito da un unico carico concentrato applicato al centro del tratto stesso; la distanza del carico concentrato P’ dalla sezione di incastro sarà: (x-d)/2.

Come si può rilevare dalla fig. (*c), sulla trave a sbalzo immaginaria agiscono i seguenti momenti: il momento positivo  V_A . x dovuto alla reazione di appoggio V_A, che tende a fare ruotare verso destra la trave a sbalzo, ed il momento negativo

dovuto al carico P’, che tende a fare ruotare la trave verso sinistra. L’equazione che dà il momento nella immaginaria sezione di incastro sarà dunque:

Per potere calcolare il valore di questo momento, dobbiamo determinare anzitutto il valore di P’: il carico totale P = 4000 kg si distribuisce uniformemente sul tratto di lunghezza c = 300 cm; su 1 cm di lunghezza di trave agisce dunque un carico:

Sul tratto (x-d) agisce quindi un carico di (x-d) . 13,33 kg. Come abbiamo calcolato in precedenza con la formula:

x = 289 cm e, secondo i dati dell’esempio d = 115 cm; si avrà dunque:

Con ciò abbiamo fatto una interessante constatazione, cioè che P’= V_A . Ciò dimostra che il valore di x, prima calcolato, era esatto, poiché nella sezione più pericolosa la somma delle forze esterne dirette verso l’alto (V_A), è uguale alla somma delle forze esterne agenti verso il basso (P’). Su ciò ritorneremo più diffusamente quando si parlerà degli sforzi di taglio. Possiamo dunque scrivere la formula che dà il momento flettente massimo anche nel modo seguente:

e semplificando ulteriormente:

Inseriamo adesso i valori numerici dati nell’esempio, nella formula ora trovata:

Da questo valore ricaviamo quindi il necessario momento resistente della trave applicando la formula:

Fissando come valore della sollecitazione unitaria ammissibile 

dovrà essere:

Dalla tabella dei profilati standard, troviamo che il momento resistente di una trave ad l di profilo 260 è di 442 cm³; tale momento resistente potrebbe anche essere sufficiente, ma è meglio impiegare una trave I di profilo normale 280, il cui momento resistente è pari a: 

Vediamo adesso di disegnare anche il diagramma dei momenti flettenti: supponiamo anzitutto che il carico distribuito su un tratto della trave sia concentrato nel centro di gravità S, e calcoliamo il momento flettente dovuto a questo carico, nella sezione della trave sottostante a detto centro di gravità S:

Inseriamo adesso i valori numerici nella formula

Per la scala dei momenti stabiliamo: 1 mm = 10000 kgcm. Disegniamo anzitutto la retta di chiusura A-B fig. (*d) e conduciamo dal centro di gravità S, nella fig. (*b), una verticale verso il basso. Su questa verticale riportiamo, a partire dalla retta di chiusura, verso il basso, una misura di 61,4 mm corrispondente al valore del momento flettente massimo; otterremo in tal modo il diagramma triangolare dei momenti ABC. Dalle precedenti considerazioni relative ad una condizione di carico costituita da un carico uniformemente distribuito e disposto simmetricamente su una parte centrale della trave, sappiamo che questo diagramma triangolare rappresenta solo in parte l’andamento effettivo dei momenti flettenti, e che, in corrispondenza del tratto di trave che sopporta un carico uniformemente distribuito, per completare il diagramma dei momenti flettenti si deve costruire una porzione di parabola. A tale scopo prolunghiamo verticalmente, verso il basso, le linee che limitano lateralmente il tratto di trave caricato, ottenendo in tal modo, sulla retta di chiusura, i punti 1 e 5 e, sugli altri due lati del triangolo, i corrispondenti punti 1′ e 5′. Dividiamo adesso il segmento di collegamento 1′-5′ ed i segmenti 1′-C e 5′-C in un uguale numero di parti uguali e disegniamo la parabola esattamente come abbiamo spiegato in precedenza per il carico parziale distribuito uniformemente e disposto simmetricamente rispetto alla mezzeria. Ricordiamo anzitutto che il vertice della parabola non è situato esattamente sotto il centro di gravità di S, ma risulta alquanto spostato verso destra, e precisamente di un tratto lungo (x-a)=2890 mm – 2650 mm, tratto il quale, nella scala delle lunghezze scelta, deve essere di 2,4 mm. Che cosi debba essere risulta chiaro dal fatto, che il vertice della parabola determina il valore del momento flettente massimo. Se poi misuriamo la lunghezza dell’ordinata del vertice (cioè la distanza del vertice dalla retta di chiusura), troviamo la misura y = 46,8 mm, ciò che corrisponde ad un momento flettente massimo M_max =468.000 kgcm. Con il calcolo abbiamo trovato prima che il momento flettente massimo è M_max =468.640 kgcm. Nella scala prescelta non si può naturalmente misurare il valore del momento flettente con una tale precisione da ottenere lo stesso risultato del calcolo. Ciò però non è neppure necessario, come si capire, ricordando come si è calcolato il momento resistente e come si è scelto il profilo della trave.

La trave su due appoggi con carico di tipo composto

In base ai risultati del calcolo precedentemente eseguito, abbiamo scelto, per le travi portanti il serbatoio d’acqua il profilo I 280. Poiché travi di tale profilo sono piuttosto pesanti e la distanza fra gli appoggi è notevole (l = 6300 mm), è necessario verificare l’influenza del peso proprio delle travi sulle sollecitazioni che le travi stesse debbono sopportare. II peso proprio di una trave può considerarsi, per il calcolo, come un carico uniformemente distribuito. Nella maggior parte dei casi, però, si può tenere conto del peso proprio solo eseguendo un calcolo di verifica, perché, all’inizio del calcolo, il profilo della trave e quindi anche il suo peso proprio, da introdurre nel calcolo, non sono ancora noti. Nel caso considerato possiamo, nel calcolo di verifica ora accennato, introdurre il peso proprio di una trave I 280, che secondo la tabella dei profili standard è precisamente di 48 kg/m. Calcoliamo quindi il momento flettente massimo dovuto al peso proprio, il quale costituisce un carico uniformemente distribuito su tutta la lunghezza della trave. Allo scopo applichiamo la formula:

da cui, introducendo i valori numerici, avremo:

Il momento flettente massimo dovuto al peso proprio si ha nella mezzeria della trave ed ha il valore ora calcolato M_g =23814 kgcm. Il massimo momento flettente dovuto al carico uniformemente distribuito q su un tratto limitato della trave, cioè dovuto al peso del serbatoio pieno d’acqua, è stato precedentemente calcolato in M_q =468640 kgcm. Se il carico uniformemente distribuito parziale fosse simmetrico, cosicché il momento flettente massimo ad esso dovuto si verificasse pure nella mezzeria della trave, per avere il momento flettente massimo complessivo sarebbe sufficiente sommare i due singoli momenti flettenti, dovuti ai due distinti carichi, si avrebbe cioè:

Nel nostro caso però, come abbiamo già visto, il momento flettente massimo dovuto al carico del serbatoio non si ha nella mezzeria della trave, ma in una sezione X-X situata 26 cm a sinistra di detta mezzeria. Come potremo quindi comporre i due momenti flettenti? Ciò risulta chiaro disegnando il diagramma dei momenti flettenti dovuti al carico composto; costituito dal peso proprio e dal peso del serbatoio. A tale scopo consideriamo quanto segue:

In ogni sezione della trave, per effetto del carico uniformemente distribuito su un tratto della trave, si ha un momento flettente ben determinato. La grandezza di tale momento può essere data per ogni sezione della trave, misurando la corrispondente ordinata del diagramma dei momenti flettenti disegnato nella fig. (*d). Anche il peso proprio della trave dà luogo, in ogni sezione della stessa, ad un determinato momento flettente, il cui valore possiamo pure ricavare per ogni sezione, se disegniamo il diagramma dei momenti flettenti dovuti al peso proprio. Se quindi, per ogni sezione, sommiamo i due momenti flettenti, cioè quello dovuto al peso proprio e quello dovuto al carico esterno; avremo il momento flettente complessivo in quella data sezione. Cominciamo quindi a disegnare la parabola del diagramma dei momenti flettenti dovuti al peso proprio. Tracciamo anzitutto lo schizzo schematico rappresentante la trave e la sua condizione di carico composto fig. (*a). Sotto tale schizzo disegniamo la retta di chiusura, sulla quale costruiremo la parabola rappresentante il diagramma dei momenti flettenti dovuti al peso proprio g, nella scala 1 mm =10000 kgcm fig. (*b). Osserviamo che, con la scala scelta, la parabola risulta molto appiattita. Nella fig. (*c) la linea continua sottile limita il diagramma dei momenti flettenti dovuti al carico uniformemente distribuito parziale su un tratto della trave; tale diagramma corrisponde a quello già disegnato nella fig. (*d). La curva di forte spessore nella fig. (*c), è stata ottenuta per punti, riportando sulle sottili linee verticali, che rappresentano i diversi punti della trave, i momenti flettenti misurati sulle stesse verticali nel diagramma della fig. (*b), in aggiunta ai momenti dovuti al carico parziale e determinati dalla linea sottile. Congiungendo i punti così ottenuti si ha la linea segnata con tratto di forte spessore, la quale limita il diagramma dei momenti flettenti complessivi; su questo ultimo diagramma possiamo leggere direttamente, per qualsiasi punto della trave, il valore del momento M = M_g + M_q . Il momento flettente complessivo massimo (M_max) potrà essere ottenuto nel modo più sicuro conducendo una tangente alla parabola, parallela alla retta di chiusura A-B, e misurando la distanza di questa tangente dalla retta di chiusura; nella fig. (*c) tale distanza, misurata nel punto vicino alla sezione corrispondente ad M_{q max} , è di circa 49,2 mm, corrispondente ad un momento flettente M_{q max} di 492.000 kgcm. Vogliamo ora verificare se questo momento massimo complessivo non risulta troppo elevato per la trave del profilo scelto. Come abbiamo rilevato dalla tabella dei profili standard il profilo I 280 ha un momento resistente

La sollecitazione unitaria dovuta al momento flettente precedentemente calcolato sarà quindi:

La sollecitazione unitaria massima è quindi ancora ammissibile. Con questo calcolo di verifica abbiamo potuto constatare (e ciò risulta nel modo più chiaro dal diagramma dei momenti flettenti), che l’influenza del peso proprio della trave sulla grandezza del momento flettente massimo è relativamente bassa. Riassumiamo adesso brevemente il procedimento di calcolo usato per determinare il profilo di una trave, tenendo conto, oltre che del carico esterno, anche del suo peso proprio:

1) Determinazione dei carichi agenti sulla trave, secondo il loro tipo e la loro grandezza.

2) Determinazione del momento flettente massimo; cioè del momento flettente nella sezione più pericolosa.

3) Calcolo del necessario momento resistente di questa sezione.

4) Scelta di un profilo adatto, servendosi della tabella dei profilati, e determinazione del peso proprio della trave.

5) Determinazione del massimo momento flettente complessivo, tenendo conto del peso proprio della trave come carico uniformemente distribuito.

6) Verifica della massima sollecitazione unitaria effettiva.

7) Nel caso che questa sollecitazione massima complessiva sia maggiore della sollecitazione unitaria ammissibile, si ripete il calcolo di verifica, scegliendo per la trave un profilo maggiore.