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Il Momento Flettente

Un altro tipo di sollecitazione molto importante è costituito dalla sollecitazione di flessione, di essa non si è finora parlato ma accennato solo brevemente. Vogliamo ora occuparcene più dettagliatamente. Si immagini un asse di legno fissata, od incastrata, ad una delle sue estremità, senza alcun altro appoggio sulla rimanente lunghezza. Un tale asse può costituire, ad esempio, un trampolino per fare i tuffi in una piscina. Quando viene caricata (ad es. quando il nuotatore vi sale sopra), essa si piega verso il basso fig. (*).

Poiché l’asse viene piegata ossia inflessa per effetto del carico, si dice che “essa viene sollecitata alla flessione”. Un’asse che sia troppo sottile, o che porti un carico troppo elevato, si spezza. Se essa però è sufficientemente robusta, non si rompe ma, dopo essere stata abbandonata dal nuotatore che ha compiuto il tuffo, ritorna nella sua posizione iniziale. Compito del progettista è quindi di dimensionare tali elementi sollecitati a flessione, in modo che non si rompano per effetto delle sollecitazioni alle quali si prevede saranno sottoposti. Un trampolino per tuffi, ad esempio, deve avere sufficiente spessore e sufficiente larghezza. Non va però costruirlo troppo spesso o troppo largo, perché allora esso non molleggerebbe e non servirebbe quindi al suo scopo. Mentre nel caso del trampolino per tuffi si vuole che esso, sotto il carico, molleggi, cioè subisca un’inflessione, nel caso di elementi di strutture sollecitati a flessione (a meno che non si tratti di organi elastici) si devono calcolare le dimensioni in modo, che non si verifichi nessuna inflessione o incurvatura. D’altra parte le dimensioni non debbono essere eccessive, perché ciò costituirebbe uno spreco di materiale, che renderebbe inutilmente più elevato il costo. Non si devono quindi costruire gli elementi di una struttura troppo deboli, per ragioni di sicurezza, ma neppure troppo robusti, per ragioni di economia. È perciò necessario che si sappia calcolare con esattezza quali sono le dimensioni più convenienti per i singoli elementi della struttura. È necessario aggiungere ora alcune altre considerazioni a proposito dell’esempio a cui ci si è prima riferiti: Quanto più il trampolino si inflette, tanto più è sollecitato alla flessione, e tanto maggiore quindi è il pericolo della rottura. L’ampiezza della flessione dipende dai due fattori seguenti:

1)       dalla intensità del carico. L’asse infatti si piega tanto più, quanto maggiore è il carico.

2)       dalla distanza del carico dal punto di incastro A fig.(*). La flessione massima dell’asse si ha, quando il carico è situato alla estremità B; l’asse si piega tanto meno, quanto più il carico è vicino ad A. (Ciò riuscirà chiaro confrontando fra di loro le fig. (*a) e (*b).

In altri termini chiunque ha certamente constatato, nel tentativo di spezzare un ramo di una albero, che la riuscita non dipende solo dallo sforzo esercitato, ma anche dal punto nel quale il ramo viene afferrato. Se ora si riuniscono i due fattori, da cui dipende l’intensità della flessione (e cioè l’intensità del carico e la sua distanza dall’appoggio o incastro) in una sola grandezza, che si definisce “momento flettente“. Si a che:

Momento flettente = Forza moltiplicata Distanza

Poiché il momento flettente interverrà molto frequentemente nei calcoli per dimensionare le strutture, e sarebbe perciò scomodo ripetere sempre per esteso tale espressione, in futuro verrà indicato sempre brevemente con la lettera M (iniziale della parola “momento”). Il carico o la corrispondente forza saranno sempre indicati con la lettera P o F (iniziale della parola “peso” o “forza”). Per la distanza del carico dall’appoggio o incastro si userà l’abbreviazione a, e per la lunghezza dell’asse, o della trave, la lettera l. La formula che dà il momento flettente sarà quindi la seguente:

Se l’asse del trampolino, a causa di un sovraccarico, si rompe, il punto di rottura, supposto che l’asse non presenti nessun difetto e nessuno indebolimento sulla sua lunghezza, si troverà sempre vicinissimo all’appoggio, cioè al punto di incastro A fig.(*). In tale punto il momento flettente ha il valore massimo; in ogni altro punto dell’asse, il valore del momento flettente è minore, poiché esso è dato dal prodotto del carico per una distanza minore, che non quella del punto A. Il massimo momento flettente (che si indica con M_max) si ha quindi, in ogni caso, nella posizione A; in tale posizione avviene sempre anche, come si sa dalla esperienza, la rottura. Quindi in tale posizione si ha la sezione più pericolosa. Ne deriva il seguente principio, che va tenuto sempre presente:

La sezione pericolosa di una parte di struttura o di costruzione è situata nel punto dove il momento flettente è massimo.

Quando si deve calcolare una parte di struttura o di costruzione sollecitata alla flessione, bisogna sempre considerare nel calcolo il momento flettente massimo (M_max), il quale si verifica sempre nella sezione più pericolosa. Nelle parti o travi che sono incastrate ad una delle due estremità, mentre l’altra estremità è libera, la sezione più pericolosa corrisponde alla sezione di incastro, cioè a quella dove la parte, o la trave è incastrata. Prima di eseguire dei calcoli di momenti flettenti con degli esempi pratici, bisogna riflettere un momento, per comprendere con quali unità di misura venga misurato il momento flettente. Nella formula dinnanzi scritta, il momento M = P · a viene ottenuto dal prodotto di una forza per una lunghezza. Ad esempio, viene eseguito il prodotto di 150 kg per 100 cm. Va  perciò eseguito il seguente calcolo:

Il prodotto di una grandezza misurata in kg per un’altra, misurata in cm, viene misurato con una nuova unità di misura, e precisamente in kgcm, che si legge: “chilogrammi-centimetri”. Che nella moltiplicazione di due grandezze di genere diverso non sia sufficiente indicare solo il prodotto dei valori numerici (nell’ esempio 150 x 100 = 15000) risulta chiaramente dalla seguente considerazione: Poiché 100 cm = 1 metro, si può anche scrivere:

Quindi 15000 kgcm (chilogrammi-centimetri) è lo stesso momento flettente espresso da 150 kgm (chilogrammi-metri), sebbene i valori numerici siano diversi. L’uguaglianza o la disuguaglianza di momenti flettenti si può quindi constatare solo quando sono indicati, non solo i valori numerici, ma anche le unità di misura. Quali unità di misura per i carichi e le lunghezze, e quindi per i momenti flettenti, sia conveniente scegliere, dipende dalla natura dei singoli esempi considerati. La scelta avviene in modo che il calcolo risulti semplice, e con valori numerici non troppo elevati. Pertanto, le unità di misura per i momenti flettenti sono il kgm, il kgcm, kNm, kNcm …. ecc. Quindi bisogna stare attenti di non cadere nell’errore, in cui spesso si incorre, di scrivere tali unità di misura come segue kg/m, kg/cm, ecc. Il significato di queste abbreviazioni è molto diverso, e verrà spiegato in seguito; infatti, queste ultime abbreviazioni possono essere impiegate per i momenti flettenti solo da chi non sa che cosa è propriamente un momento flettente. Detto ciò, si svolga adesso il primo esempio pratico per il calcolo del momento flettente per una trave a sbalzo. Si prende come primo esempio pratico una trave a sbalzo lunga cm 50 = m 0,50 (l = m 0,50) che viene caricata alla estremità libera con una forza di 100 kg

Si calcolano i momenti flettenti che si verificano nelle posizioni indicate nella fig.(*) con la lettera A e con le cifre da 1 a 4; questi punti sono distanti tra di loro cm 10 (m 0,10). Nella fig. (*), come pure nelle seguenti, la trave a sbalzo è indicata con un segmento rettilineo disegnato con tratto di forte spessore, e l’incastro della trave nella posizione A, con una piccola zona tratteggiata. Si calcola anzitutto il momento massimo, cioè il momento flettente all’incastro A; si ha che:

oppure anche

Ora si calcolano i momenti flettenti negli altri punti indicati della trave a sbalzo. Nel punto 1:  la distanza a della forza P dal punto 1 è di 40 cm, cosicché:

Nel punto 2 : a = 30 cm

Nel punto 3 : a = 20 cm

Nel punto 4 : a = 10 cm

Da questi risultati appare chiaramente che il momento flettente presenta il valore massimo nel punto di incastro, poiché questo è il punto più distante dalla forza. La distanza della forza dai punti nei quali si deve determinare il momento flettente viene anche detta “braccio della forza“, o “braccio di leva“, poiché la forza tende, come una leva, a far ruotare la trave attorno a tale punto. Per non dover sempre ripetere la frase: “momento flettente nella posizione, o nel punto ….”, si precisa la posizione per la quale si calcola il momento flettente scrivendo una lettera o una cifra dopo la lettera M, in basso; tali cifre o lettere aggiunte in basso ad una altra lettera si chiamano “indici”. Ad esempio: M_A (si legge: “M con A”) indica il momento flettente nella posizione A; M₂ (si legge: “M con 2”) indica il momento flettente nella posizione 2, ecc. Osservazione: Il significato delle superfici tratteggiate disegnate sotto alla trave, nelle figure da (*) a (*), verrà spiegato in seguito. Si svolga adesso un secondo esempio pratico.

Si calcolano i momenti flettenti nella trave a sbalzo rappresentata nella fig. (*). Come è facile notare, questo secondo esempio differisce dal primo solo per il fatto che lo forza invece che di 100 kg è di 50 kg. Soluzione:

I risultati, evidentemente, in questo secondo esercizio, sono rispettivamente uguali, in valore, alla metà di quelli del primo esercizio. Ciò deriva dal fatto che la grandezza del carico, applicato sempre nello stesso punto, è la metà di quello del primo esempio. Si Calcolano adesso i momenti flettenti nella trave a sbalzo rappresentata nella fig. (*), nei diversi punti indicati. Questo esempio si distingue da quello descritto nel primo esempio per il fatto che il carico di 100 kg è ora applicato nel punto 3.

La distanza della forza P dal punto A è ora solo di cm 30. Si hanno perciò i seguenti momenti flettenti:

Se si vuole calcolare il momento flettente nel punto 3, cioè nello stesso punto in cui è applicato il carico, si nota che, in tale caso, la distanza della forza dal punto nel quale si vuole calcolare il momento flettente è uguale a 0. Infatti se si applica la formula che dà il momento flettente. Si ottiene:

Poiché moltiplicando un numero per 0 si ottiene 0. Nella sezione corrispondente al punto 3 non si ha quindi alcun momento flettente. Si provi ora a calcolare i momenti flettenti nelle sezioni disposte fra il punto 3 e il punto B. In tutte le sezioni della trave comprese fra tali punti il momento flettente è sempre uguale a 0, poiché, a partire dal punto 3, verso B, non c’è nessuna forza che agisce sulla trave. Nei tratti della trave dove non si ha momento flettente, non si verifica neppure alcuna inflessione della trave; questa assumerà quindi la forma che è stata, in modo appositamente esagerato, rappresentata nella fig. (*). Dal punto A al punto 3, la trave risulta incurvata, mentre dal punto 3 al punto B, la trave rimane rettilinea, poiché in tale tratto non si ha alcun momento flettente. Si veda un ulteriore esempio, si debbano calcolare i momenti flettenti in una trave a sbalzo, sulla quale sono applicati due carichi fig. (*).

Quando sulla trave a sbalzo agiscono più forze, col metodo che è stato finora impiegato bisogna calcolare i momenti flettenti, dovuti ad ognuno delle forze, e quindi sommarli fra di loro. Nella sezione corrispondente al punto A, per effetto della forza di 40 kg, applicata ad una distanza di 50 cm si ha il momento flettente 40 kg · 50 cm = 2000 kgcm; e per effetto della forza di 60 kg applicata alla distanza di cm 30, il momento flettente 60 kg · 30 cm = 1800 kgcm. Il momento flettente complessivo nella sezione A sarà dunque:

In modo analogo si trovano i momenti flettenti negli altri punti:

Il momento flettente nel punto 3, dovuto alla forza di 60 kg, è quindi uguale a 0, perché la distanza della forza dal punto suddetto è uguale a 0.

nella estremità libera della trave, il valore del momento flettente è, in ogni caso, uguale a 0, poiché in tale punto la distanza è sempre 0.

Il diagramma del momento flettente

Negli esercizi è stata, sotto la trave a sbalzo, disegnata una superficie triangolare tratteggiata. La grandezza di un momento flettente si può rappresentare, anche graficamente, mediante un segmento di lunghezza proporzionale. Per scegliere la lunghezza proporzionale del segmento rappresentante il momento flettente, ci si regolerà secondo lo spazio disponibile sul foglio da disegno. Affinché i disegni dei momenti, non risultino troppo grandi, si è fissato che un momento flettente di 500 kgcm sia rappresentato da un segmento lungo 1 mm. Un momento flettente di 1000 kgcm sarà dunque rappresentato da un segmento lungo 2 mm, ed uno di 5000 kgcm sarà rappresentato da un segmento di 10 mm. Si osservi ora attentamente la superficie triangolare disegnata inferiormente nella fig. (*). Essa è stata ricavata riportando normalmente alla retta A-B; nei punti situati esattamente al di sotto dei punti A, 1, 2, 3 e 4 della trave, dei segmenti di lunghezza rispettivamente proporzionale ai momenti flettenti che si hanno nei punti stessi. Nel punto A il momento flettente è 5000 kgcm; si porta quindi, dal punto A della retta A-B, un segmento perpendicolare lungo 10 mm. Nel punto 1 il momento flettente è di soli 4000 kgcm; il segmento normale alla retta A-B, che lo rappresenta, sarà quindi lungo 8 mm. Si Procede nello stesso modo per i punti 2, 3 e 4. In B, il momento flettente è uguale a 0; esso sarà quindi rappresentato da un segmento di lunghezza nulla, cioè da un punto. Collegando ora le estremità dei segmenti perpendicolari ad A-B, fino ad ora riportati, si ottiene la superficie triangolare, che prende il nome di “diagramma dei momenti flettenti“. Per rendere più evidente tale diagramma il tratteggio è stato eseguito normalmente alla linea di base. I momenti flettenti vengono dunque rappresentati in una determinata scala, e precisamente nella scala dei momenti flettenti. Poiché la linea che rappresenta la trave viene disegnata in una determinata scala delle lunghezze, nel disegno di un diagramma dei momenti si debbono distinguere due scale: la scala delle lunghezze e la scala dei momenti. Queste scale si devono indicare sul foglio del disegno, possibilmente vicino al diagramma dei momenti. Nei primi tre esercizi svolti si è fissato che una lunghezza di 10 mm = 1 cm rappresenti un momento flettente di 5000 kgcm. Questa scala viene indicata nel disegno nel modo seguente:

Scala dei momenti 1 cm ≈ 5000 kgcm.

Il segno (≈) significa in questo caso “corrisponde“. L’indicazione precedente si legge quindi: “un 1 cm corrisponde a 5000 kgcm”. Nell’ultimo esercizio svolto la scala dei momenti è: 1 cm ≈ 2000 kgcm. Nello stesso modo con cui si è tracciato il diagramma dei momenti nella fig. (*), si disegna anche quello delle fìgg. *, * e *. E’ necessario capire come questi diagrammi si costruiscono; verificando le loro dimensioni in scala. I diagrammi dei momenti flettenti vengono impiegati frequentemente, perché da essi si rileva facilmente la distribuzione delle sollecitazioni in una trave e, fra l’altro, la posizione nella quale il momento flettente è massimo; cioè dove si ha la sezione più pericolosa (negli esempi svolti, in cui sono state sempre considerate delle travi a sbalzo, la sezione più pericolosa è sempre situata nella posizione A).

Che cosa si intende precisamente per “Statico”?

Chiunque si è certamente chiesto in che consista la Statica e quale sia il suo scopo. Nelle pagine precedenti si è detto che compito del progettista è di stabilire le dimensioni degli elementi delle strutture, in modo che questi siano capaci di resistere alle sollecitazioni alle quali saranno sottoposti, cosicché non siano troppo robusti, per evitare spreco di materiale, ma allo stesso tempo neppure troppo deboli, perché altrimenti essi andrebbero incontro al pericolo di rottura. Per stabilire le dimensioni necessarie e più convenienti è indispensabile conoscere esattamente le forze che agiscono sulle  parti di strutture. La Statica ha appunto lo scopo di determinare queste forze, come pure i loro effetti (ad es. i momenti flettenti). Il vocabolo “Statica” deriva dalla parola greca “Stasis” = stato di quiete. Da ciò si intuisce quale è il significato della parola “statica”: essa si occupa solo di quelle forze che non provocano alcun movimento delle parti di una struttura considerata; che non la fanno, ad esempio, né ruotare, né vibrare, ma che la mantengono in equilibrio, allo stato di quiete. Si può quindi definire la Statica come la “Scienza dell’equilibrio“. Dalla esperienza sappiamo che le forze possono imprimere dei movimenti ai corpi, spostarli, farli ruotare o vibrare. Questi effetti delle forze non sono studiati dalla Statica; di essi si occupa un’altra scienza, la Dinamica. Anche questa parola deriva da un vocabolo greco, cioè da “Dynamis” = forza in movimento. Si dice perciò che la Dinamica è la “Scienza delle forze in movimento“. La Statica e la Dinamica si distinguono quindi per il genere di forze da esse studiate, e precisamente secondo l’effetto prodotto dalle forze. Ciò riuscirà chiaro, se si esamina ancora l’esempio del trampolino: Quando il nuotatore si mantiene fermo sul trampolino, egli esercita sulla tavola una forza statica (uguale al peso del suo corpo). Si genera un momento flettente, che, come si è visto, è nullo alla estremità libera della tavola ed è massimo invece nella sezione di incastro. Finché il nuotatore si mantiene fermo, anche la tavola, dopo essersi alquanto incurvata, si mantiene in una determinata posizione. Si stabilisce cioè un equilibrio tra la forza di reazione all’incastro ed il carico costituito dal peso del nuotatore. In altre parole si dice che si ha uno stato di equilibrio statico. Se il nuotatore non si mantiene fermo, ma si muove, facendo oscillare la tavola, egli non esercita più una forza statica, ma una forza dinamica, cioè una forza che provoca il movimento di un corpo (della tavola). L’equilibrio, che quindi si aveva precedentemente, non sussiste più; la tavola si mette ad oscillare con ampiezze sempre maggiori. Quando le forze dinamiche raggiungono un certo valore, l’asse del trampolino si rompe vicino al punto di incastro. Finora si è parlato solo dei momenti flettenti provocati da una forza statica. Vi sono però anche dei casi in cui gli elementi di una struttura sono soggetti a sforzi di trazione o di compressione. Si è visto già attraverso lo studio che riguarda la Resistenza dei Materiali, come le forze esterne agiscano sugli elementi delle strutture, quali forze interne (resistenti) esse suscitino, quali tensioni determinino nel materiale è come infine si calcoli la grandezza delle sezioni degli elementi strutturali, in base alle sollecitazioni unitarie. È infatti compito della scienza concernente la resistenza dei materiali di determinare le dimensioni degli elementi delle strutture in base alle forze ed ai momenti determinati per mezzo della Statica. In tutti i problemi di cui la Statica si occupa, i corpi vengono considerati come se fossero perfettamente rigidi (non cedevoli). Per “corpo rigido” si intende un corpo la cui forma non varia per effetto delle forze che agiscono su di esso. In realtà non vi è alcun corpo che sia perfettamente rigido, perché tutti, più o meno, subiscono una variazione di forma per effetto dei carichi a cui sono sottoposti. In generale però le variazioni di forma, o deformazioni, sono così piccole da potere essere trascurate. Quando ci si occupa di problemi statici, cioè della determinazione delle forze che agiscono su un elemento di struttura, si considera inizialmente l’elemento della struttura senza badare alle dimensioni ed alla forma delle sue sezioni ed al materiale di cui è costituito. Non ci si preoccupa cioè, da principio, di sapere se si tratta di una trave di cemento armato, acciaio o di legno; si considera solo una asta rigida, di cui ci interessa solo l’asse di mezzeria. Per questa ragione, nelle figg. da (*) a (*), sono state rappresentate le travi con dei segmenti rettilinei disegnati con doppio tratto ravvicinato a forte spessore, cioè si sono rappresentati solo gli assi. Solo dopo che i problemi statici sono stati risolti, cioè dopo che sono stati determinati tutti gli sforzi ed i momenti che agiscono su una trave, ci si occupa della forma delle sezioni trasversali di tale trave e della natura del materiale che costituisce la trave stessa; ciò però, come è stato già detto, è un argomento che riguarda la “Resistenza dei Materiali“. Quindi, da quando fin qui è stato detto, la statica si occupa delle forze che mantengono una struttura o costruzione allo stato di riposo e di equilibrio. Evidentemente bisogna adesso esaminare quali sono le condizioni che debbono essere soddisfatte, affinché si abbia uno stato di equilibrio statico. Verranno trattate quindi, qui di seguito, le regole fondamentali della Statica, cioè le cosiddette “condizioni di equilibrio“, la cui conoscenza è la base di ogni calcolo degli elementi strutturali di una costruzioni. Si è già visto che l’effetto di una forza (carico) non dipende solo dalla sua grandezza o intensità, ma anche dalla posizione e della direzione in cui essa agisce. Una forza di 50 kg, ad una distanza di 10 cm da un determinato punto, ha lo stesso effetto di una forza di soli 5 kg, ma che agisce ad una distanza di 100 cm dal medesimo punto. In entrambi i casi la forza produce un momento di rotazione di 500 kgcm. Ciò può riuscire molto chiaro considerando l’asse di una altalena bascullante fig. (*). Ad ogni estremità dell’asse è applicato un carico (ad esempio una persona) e precisamente ad una distanza di m 2,00 dal centro di rotazione D.

Entrambi i carichi sono di uguale grandezza, e precisamente ognuno di essi uguale a 50 kg. L’asse della altalena bascullante è allora in equilibrio, cioè essa non si muove, finché non riceve un urto. Per lo stesso motivo anche una bilancia si trova in equilibrio, quando sui due piatti sono posati dei pesi uguali. Si osservi guardando la fig. (*), le distanze dei carichi dal centro di rotazione sono misurati dal centro dei corpi pesanti che determinano il carico, al centro di rotazione. Nei calcoli statici si immagina cioè che i carichi siano sempre concentrati nei baricentri o centri di gravità dei corpi, che realizzano i carichi stessi; in generale il baricentro o centro di gravità coincide con il centro geometrico del corpo pesante. Per tale ragione le distanze dei corpi pesanti dal centro di rotazione sono state misurate dai centri geometrici dei corpi stessi. Detto ciò, se adesso, sulla estremità sinistra dell’asse della altalena bascullante, aggiungiamo un altro carico di 50 kg, come è indicato nella fig. (*), l’asse della altalena bascullante non si trova più in equilibrio.

Essa ruoterà attorno al centro di rotazione D e precisamente nel senso indicato dalla freccia tracciata in detta figura. Se però spostiamo questo doppio carico più vicino al punto di rotazione D, e precisamente alla distanza di 1,00 m da esso, l’equilibrio risulterà ristabilito fig.(*).

In tutti i calcoli statici si deve verificare se l’equilibrio sussista oppure no. Nel caso dell’asse della altalena bascullante ciò si può constatare con una riflessione molto semplice. In altre strutture, meno semplici, per arrivare ad una simile constatazione, occorre servirsi di apposite regole. Queste regole costituiscono i fondamenti di tutti i calcoli statici. Ci sono, in proposito, tre Regole, che sono precisamente chiamate le tre “Condizioni di Equilibrio“. Si espone la prima di queste regole.

La prima condizione di equilibrio

Nei calcoli svolti fino a qui si è sempre considerato il prodotto di una forza per una distanza (distanza della forza da un determinato punto, la quale viene detta anche “braccio” della forza rispetto al punto stesso). Tale prodotto viene indicato brevemente con l’espressione “momento flettente“, poiché il suo effetto è sempre una flessione. Nel caso dell’asse della altalena bascullante, le forze tendono invece a produrre una rotazione dell’asse attorno al centro di rotazione (detto anche “fulcro“). In tal caso, per indicare il prodotto di una forza per una distanza, si parla di momento di rotazione. Qui di seguito si parlerà quindi solo di momenti di rotazione e verranno chiamati perciò semplicemente “momenti“. Un momento che tende a produrre una rotazione verso destra cioè nel senso delle lancette dell’orologio, viene detto “momento positivo“. Un momento che tende invece a produrre una rotazione in senso opposto a quello delle lancette dell’orologio si dice “momento negativo“. Verranno indicati rispettivamente con la freccia curva rivolta verso destra e verso sinistra.

Per chiarire meglio queste definizioni ci riferiamo alla fig. (*): Il carico di 50 kg, posto sulla estremità sinistra dell’asse, dà luogo ad un momento negativo attorno al centro di rotazione D, e precisamente ad un momento di grandezza:

Come già si sa dalla Matematica, con il segno “-” vengono contraddistinte sempre le grandezze negative. Il carico di 50 kg, posto sulla estremità destra dell’asse della altalena bascullante, dà luogo ad un momento positivo attorno al centro di rotazione, e precisamente ad un momento di grandezza:

I due momenti attorno al centro di rotazione D sono uguali in grandezza assoluta, ma contraddistinti da segni opposti. Sommando i due valori si ha quindi un valore 0.

Con l’esempio esposto si è già definita la prima delle tre condizioni di equilibrio che viene precisamente così enunciata:

Quando un corpo si trova in equilibrio, la somma di tutti i momenti che agiscono su di esso è uguale a zero.

Invece di “somma di tutti i momenti” si scrive brevemente ΣM. La lettera maiuscola Σ (sigma) è impiegata come abbreviazione della parola “somma”. La prima condizione di equilibrio può quindi essere espressa con la seguente formula:

Con delle applicazione molto semplice di quanto detto finora; si esamina, in base alla prima condizione di equilibrio, la condizione in cui si trova l’asse della altalena bascullante rappresentata nella fig. (*), cioè si constati se essa si trova in equilibrio, oppure no. Il momento dovuto al carico posto sulla estremità sinistra dell’asse, rispetto al centro di rotazione D, è negativo, perché tende a fare ruotare l’asse verso sinistra; esso è:

Il momento dovuto al carico posto sulla estremità destra dell’asse è analogamente:

La somma dei due momenti

non è uguale a 0; l’asse della altalena bascullante non è quindi in equilibrio. Un momento negativo, secondo quanto è stato stabilito, è un momento che tende a produrre una rotazione verso sinistra. Il risultato del nostro calcolo dice dunque che l’asse della altalena bascullante, per effetto del carico precisato nell’esercizio, deve ruotare verso sinistra. Si ripeta lo stesso esame, relativamente all’asse della altalena bascullante rappresentata nella fig. (*). Il momento dovuto al carico posto sulla estremità sinistra dell’asse è:

Il momento dovuto al carico posto sulla estremità destra dell’asse è:

La somma di tutti i momenti che agiscono sull’asse è dunque:

In questo caso lo somma dei momenti è uguale a 0; l’asse della altalena bascullante rappresentata dalla fig. (*) si trova perciò in equilibrio. Nella fig. (*) è rappresentato un asse di altalena bascullante, il cui braccio sinistro è lungo m 2,00 ed il braccio destro m 3,00. Alla estremità del braccio sinistro è posto un carico di 30 kg. Sulla estremità del braccio destro è posto un carico P, di cui non conosciamo la grandezza. Quale deve essere questa grandezza, affinché l’asse della altalena bascullante si trovi in equilibrio?

Se l’asse della altalena bascullante deve trovarsi in equilibrio bisogna che sia: ΣM = 0. Il momento dovuto al carico di 30 kg, è:

II momento dovuto al carico P è:

Poiché non si sa quale sia la grandezza del carico posto sul braccio a destra, lo si indica provvisoriamente con P. Perché si abbia l’equilibrio la somma di tutti i momenti deve essere uguale a 0. Si deve cioè avere:

Si è dunque ottenuta una equazione, nella quale P è la grandezza incognita; bisogna dunque risolvere l’equazione rispetto a P, si deve cioè trasformarla, in modo che nel membro di sinistra rimanga solo P. Quindi procedendo:

Il carico posto sulla estremità del braccio destro dell’asse della altalena bascullante rappresentata nella fig. (*) deve quindi essere di 20 kg, se l’asse stessa deve trovarsi in equilibrio. Si verifichi ora se il risultato è giusto, cioè si verifichi se ΣM sia effettivamente uguale a 0, quando P = 20 kg:

La soluzione P = 20 kg è dunque giusta. Non occorre che i disegni necessari per i calcoli statici siano così dettagliati come quelli dell’asse della altalena bascullante, riportati nelle figure precedenti. Per i calcoli statici bastano degli schizzi come quello della fig. (*), nei quali si indica solo quanto è essenziale per precisare il problema. L’asse della altalena bascullante sarà quindi, ad esempio, rappresentata con un semplice segmento rettilineo.

Tutte le forze (i carichi sono pure delle forze) vengono rappresentate mediante frecce. Le punte delle frecce indicano la direzione secondo la quale le forze agiscono. Entrambi i carichi posti sull’asse della altalena bascullante agiscono verso il basso, esattamente come i pesi sui piatti di una bilancia. Le frecce che rappresentano questi carichi hanno perciò la punta rivolta verso il basso. Anche l’appoggio dell’asse nel punto di rotazione è rappresentato nella fig. (*) da una freccia. Tale appoggio si può infatti immaginare costituito da una forza diretta verso l’alto. Si immagini un uomo che tenga afferrata l’asse di una altalena nel punto D fig. (*).

Egli deve esercitare una forza diretta verso l’alto. Questa forza viene chiamata “reazione di appoggio“. Nella fig. (*) è indicata anche la grandezza della reazione nell’appoggio D, e precisamente con 50 kg. La reazione di appoggio infatti deve essere uguale alla somma dei due carichi. Se siattenzionian ancora l’uomo che tiene sollevata l’asse della altalena bascullante, si intuisce senz’altro che la forza da esso esercitata verso l’alto deve essere uguale ai due carichi applicati all’asse, considerati insieme. In queste considerazioni viene supposto che l’asse sia così leggera, da potersene trascurare il peso. La reazione di appoggio per l’asse della altalena bascullante rappresentata nella fig. (*) è quindi 50 kg + 50 kg = 100 kg, e quella dell’appoggio dell’asse rappresentata nella fig. (*) è di 100 kg + 50 kg = 150 kg. Un esempio pratico: Quale deve essere la grandezza della forza P agente sull’asse della altalena bascullante rappresentata nella fig. (*), se l’asse deve trovarsi in equilibrio? Quale sarà inoltre la grandezza della reazione di appoggio?

Perché l’asse si trovi in equilibrio bisogna che sia ΣM = 0, cioè

Questa equazione deve essere risolta rispetto a P

Con ciò si è risposto alla prima domanda. La risposta alla seconda è ancora più semplice: La reazione di appoggio deve essere uguale alla somma dei due carichi che agiscono sull’asse quindi: Reazione di appoggio = 8 kg + 3 kg = 11 kg. Si faccia un ulteriore esempio dove ci si chiede: Quale deve essere la grandezza della forza P agente sull’asse della altalena bascullante rappresentata nella fig. (*), se l’asse deve trovarsi in equilibrio? Quale è inoltre la grandezza della reazione di appoggio?

Per l’equilibrio dell’asse deve aversi ΣM = 0, cioè

La differenza, rispetto agli esempi precedenti, consiste nel fatto che su uno dei due bracci agiscono due carichi invece di uno solo. Per calcolare la somma dei momenti bisogna moltiplicare ciascuno dei due carichi per la rispettiva distanza dal punto di rotazione. I due carichi sul braccio sinistro dell’asse della altalena bascullante tendono a provocare una rotazione verso sinistra; essi danno perciò luogo ad un momento negativo. Si calcolano dunque i singoli prodotti indicati nella equazione precedente, e si risolva la stessa rispetto a P

Con ciò si è ottenuta la risposta alla prima domanda. La risposta alla seconda è la seguente: La reazione di appoggio deve essere uguale alla somma di tutte le forze che agiscono verso il basso; essa sarà perciò: Reazione di appoggio = 5 kg + 5 kg + 6 kg = 16 kg. Esaminate così tutte le condizioni per l’equilibrio di un asse di altalena bascullante nelle più diverse ipotesi di carico; si potrebbe anche chiedere perché ci si è occupati cosi a lungo di problemi riguardanti un asse di altalena bascullante. Quale importanza hanno tali problemi nelle costruzioni e nelle strutture? Si vedono molte altalene bascullanti nei parchi di gioco per bambini; vi sono però delle intere costruzioni o di parti di strutture che possono dirsi assi di altalena bascullante? In realtà tali organi si incontrano molto frequentemente nelle costruzioni e di carpenteria in generale. Pensiamo, ad esempio, ai ponti di cui una straordinaria applicazione è rappresentata dal ponte Morandi fig. (*).

oppure al braccio di una gru da cantiere del tipo rappresentato nella fig. (*); si potrebbe continuare con tanti altri esempi.

Anche una semplice trave a sbalzo può paragonarsi ad un asse di altalena bascullante. Oltre alla importanza pratica delle sue numerose applicazioni, un asse oscillante attorno a un fulcro, come quella di una altalena bascullante, possiede un’altra caratteristica che merita tutta la nostra attenzione. Essa si presta cioè a rendere molto chiare le condizioni di equilibrio, specialmente quelle riguardanti i momenti di rotazione, condizioni di equilibrio che ognuno di noi ha avuto occasione di verificare sperimentalmente, e che non risultano in modo altrettanto chiaro in qualsiasi altro tipo di costruzione. Nella trattazione svolta fino a qui si è immaginato che le masse che entrano in gioco sull’asse della altalena bascullante siano stati sostituiti da forze; si è cosi considerato un gioco di forze, che ci faciliterà in seguito la comprensione di tanti altri problemi della Statica. Dopo avere studiato le condizioni di equilibrio in un asse di altalena bascullante, risulterà infatti molto più chiaro il gioco delle forze su altri elementi costruttivi, dove esso è meno facile da individuare. Nello studiare ogni struttura portante bisogna anzitutto porsi sempre la seguente domanda: Quali sono le condizioni per le quali questo elemento costruttivo si trova in equilibrio? Si esamina subito un caso, che ci è già noto ovvero il caso del trampolino per i tuffi, come ve ne sono nelle piscine da nuoto; esso è appoggiato sopra un muro e sporge per una lunghezza pari a 5 volte la lunghezza della parte appoggiata sul muro. L’asse del trampolino è caricato con la forza P; precedentemente si è detto che essa era fissata in qualche modo al suo appoggio. Che cosa succederebbe se l’asse fosse invece semplicemente appoggiata sul muro? È evidente che essa farebbe un tuffo nell’acqua della piscina ed il nuotatore, non solo non potrebbe mettere piede sulla sua estremità a destra, ma neppure arrivare al centro dell’asse stessa. L’asse deve dunque essere fissata al suo appoggio. In pratica questo fissaggio si esegue nel modo indicato nella fig. (*) si dispone cioè, alla estremità sinistra dell’asse, un ancoraggio bullonato che unisce solidamente l’asse del trampolino con il muro.

Ora l’asse è assicurata, il gioco delle forze, che assicura l’equilibrio, può realizzarsi. Ci troviamo di fronte ad un sistema analogo a quello dell’asse della altalena bascullante: uno dei due bracci è costituito dalla parte sporgente dell’asse, sulla quale viene a trovarsi il carico diretto verso il basso, costituito dal peso del nuotatore; l’altro braccio è costituito dalla parte di asse appoggiata sul muro, alla cui estremità sinistra l’ancoraggio bullonato  esercita una forza pure diretta verso il basso; il centro di rotazione o fulcro è costituito dallo spigolo anteriore del muro in A. Un altro caso analogo è costituito dalla trave per paranco scorrevole, incastrata in un muro. Anche tale trave non è, in fondo, altro che un asse di altalena bascullante: uno dei due bracci sporge liberamente a sbalzo e porta il cosiddetto “carico utile“; nel muro penetra invece l’altro braccio, sul quale grava il peso del muro sovrastante; lo spigolo anteriore del muro costituisce il centro di rotazione. Questo caso è molto importante, perché si può osservarlo facilmente con degli esempi pratici.

Oppure si pensi ad una pensilina per proteggere gli spettatori presenti nella sottostante tribuna dagli eventi meteorici fig. (*) .  

Quindi grazie all’esame approfondito dell’equilibrio della altalena bascullante, si può ora risolvere facilmente anche il problema dell’asse per trampolino, poiché esso non presenta alcuna speciale difficoltà. Si osservi con attenzione la fig. (*). Si nota sullo spigolo A anteriore del muro, tra l’asse del trampolino e il muro stesso, è stato inserito un blocco (ancora meglio sarebbe una molla), affinché lo spigolo del muro stesso, durante l’inflessione dell’asse, non venga sbriciolato.

La trave su due appoggi

Si osservi ancora una volta la fig. (*). In essa si vede una trave sulla quale agiscono tre forze; due di tali forze agiscono verso il basso ed una verso l’alto. Queste tre forze, come si è appurato, sono in equilibrio.

Perché questo sussista, è evidentemente indifferente che le forze siano dei carichi o delle reazioni di appoggio. Si immagini di capovolgere la figura, cioè si immagina la trave con i suoi carichi girata di 180°, come rappresentato nella fig. (*). 

Poiché le tre forze non hanno variato, esse sono ancora in equilibrio tra di loro. Sulla trave agisce ora una forza sul punto D, diretta verso il basso, e due forze, nei punti A e B, dirette verso l’alto. La forza diretta verso il basso, la cui intensità è di 50 kg, costituisce ora il carico sulla trave, e le due forze dirette verso l’alto costituiscono le reazioni di appoggio. Una tale trave, sostenuta in due punti, si chiama “trave su due appoggi”. La trave su due appoggi costituisce il caso che si verifica più frequentemente nei calcoli statici. Quasi tutti i calcoli statici, anche nei casi più complicati, si possono ridurre al caso del calcolo di una trave su due appoggi. È perciò molto importante conoscere bene il calcolo suddetto. Che una trave, come quella rappresentata nella fig.(*), appoggiata alle sue estremità, si trovi in equilibrio, si può capire senz’altro, senza bisogno di ricorrere a calcoli speciali. Poiché essa è sostenuta in due punti, non può infatti ruotare, al contrario di quanto avveniva per l’asse della altalena bascullante, la quale era sostenuta soltanto in un punto. Tuttavia si dimostra, mediante l’applicazione della prima condizione di equilibrio ΣM = 0, la quale naturalmente vale anche per le travi su due appoggi, che la trave si trova in equilibrio. Si esprima perciò la somma dei momenti di rotazione attorno al punto D. La forza di 30 kg applicata alla estremità sinistra della trave tende a ruotare verso destra; essa da quindi luogo ad un momento positivo, mentre la forza di 20 kg, applicata sulla estremità destra della trave, tende a fare ruotare la stessa verso sinistra, dando luogo quindi ad un momento negativo, avremo perciò:

La prima condizione di equilibrio è perciò soddisfatta. Finora si è espressa la prima condizione di equilibrio sempre riferendoci al punto D. Ciò non è però affatto necessario. La condizione di equilibrio deve essere soddisfatta per qualsiasi altro punto; ad esempio anche per il punto di appoggio sinistro. Si immagini ora che la trave sia fissata nel punto A, cosicché la forza di 50 kg tenda a fare ruotare la trave stessa attorno al punto A, e precisamente verso destra e con un braccio di leva di 2,00 m (distanza della direzione della forza dal punto A), mentre la forza di 20 kg tende a fare ruotare lo trave verso sinistra, con un braccio di leva di 2,00 m + 3,00 m = 5,00 m. S ha perciò che la somma di tutti i momenti di rotazione attorno al punto A :

La condizione di equilibrio è quindi espressa per il punto A esattamente come per il punto D. Si scriva ora lo somma dei momenti ΣM relativamente al punto di appoggio destro B: Si immagini che la trave sia incernierata nel punto B, cosicché la forza applicata nel punto A (30 kg) tenda a fare girare la trave verso destra, con un braccio di leva di m 5,00, mentre la forza applicata in D (50 kg) tende a fare girare la trave verso sinistra, con un braccio di leva di m 3,00. Si ha quindi:

Si faccia ora un’altra prova, scegliendo come centro di rotazione un punto qualsiasi, situato fra A e B, ad esempio un punto distante 1,00 m dall’appoggio sinistro. Si esegua il calcolo: Il momento dovuto alla forza agente nel punto A è:

Il momento dovuto alla forza agente nel punto D è:

Il momento dovuto alla forza applicata nel punto B è:

La somma di tutti i momenti sarà dunque:

Si possono evidentemente eseguire ancora quanti calcoli si voglia analoghi a quelli esposti, ed ogni volta la somma di tutti i momenti è uguale a 0, e ciò perché la trave è in equilibrio!

Il calcolo delle reazioni di appoggio

Nella fig. (*) la grandezza delle due reazioni di appoggio era già stata segnata in precedenza. Di regola, però, si conosce anzitutto la grandezza del carico che agisce sulla trave, inoltre la lunghezza della trave ed il punto dove la forza (carico) agisce. Ci si trova quindi di fronte al compito di calcolare le grandezze delle reazioni degli appoggi. Riferendoci alla stessa figura precedente e riportata qui di seguito per comodità, il calcolo da eseguire sarà quindi quello presentato nell’esempio seguente. Si abbia una trave di lunghezza l = m 5,00, caricata da una sola forza P = 50 kg. Il carico agisce a m 2,00 dall’appoggio sinistro, e m 3,00 dall’appoggio destro. Quali sono le grandezze delle reazioni negli appoggi destro e sinistro?

Prima, però, di rispondere è necessaria una breve considerazione. Le indicazioni appoggio sinistro e appoggio destro si riferiscono al disegno, cioè l’appoggio sinistro è quello situato a sinistra sul disegno e l’appoggio destro è quello situato a destra sul disegno. È consuetudine indicare l’appoggio sinistro e la reazione dell’appoggio sinistro con la lettera V_A e l’appoggio destro e la reazione dell’appoggio destro con la lettera V_B. Corrispondentemente si indica, in generale, la distanza del carico dall’appoggio sinistro con la lettera a e la distanza del carico dall’appoggio destro con la lettera b. Se quindi si conosce una delle due distanze (ad esempio a), si può ricavare l’altra (b) dall’uguaglianza l = a + b  (vedi. fig. *); si ha che b = l – a.

La lunghezza della trave fra due appoggi si chiama la “portata della trave”. In realtà le travi non si appoggiano su dei punti, ma su delle superfici fig. (*a). L’intera lunghezza della trave è quindi maggiore della portata della trave stessa, in base alla quale si eseguono i calcoli statici. In seguito si studierà, con degli esercizi pratici, come si determinano i punti di appoggio, cioè i punti dove agiscono le reazioni di appoggio, e quindi anche come si determina la portata della trave. Nei calcoli statici è consuetudine indicare schematicamente gli appoggi mediante piccoli triangoli con un vertice rivolto verso l’alto fig. (*b); questo vertice rappresenta quindi il punto di appoggio. Sotto questi piccoli triangoli vi sono rappresentate anche delle frecce orientate che rappresentano le forze costituenti le reazioni di appoggio. Nella fig. (*), inoltre, si è supposto che i punti di appoggio coincidano con i centri delle superfici di appoggio. Dopo questo breve appunto, si ritorni adesso all’esempio dando la risposta. Per il calcolo delle reazioni di appoggio si impiega la prima condizione di equilibrio. Poiché una trave su due appoggi, essendo sostenuta in due punti, deve essere sempre in equilibrio, la condizione ΣM=0 deve essere soddisfatta per qualsiasi punto della trave. Si può quindi dire che la somma di tutti i momenti di rotazione attorno ad un punto, ad esempio attorno all’appoggio B, deve essere uguale a 0:

Si osservi bene la fig. (*). Si consiglia di prosegue quindi nella lettura, solo quando il significato dell’espressione ora scritta sia assolutamente chiaro. In questa uguaglianza P, b e l sono grandezze conosciute, mentre la reazione di appoggio V_A non è ancora conosciuta, cioè è l’incognita che deve essere calcolata. Si deve perciò risolvere l’equazione rispetto ad V_A:

Si prenda nota di questa formula:

Si può da subito confermare che questa formula è giusta, applicandola al caso della trave dell’esempio rappresentata nella fig. (*). Bisogna semplicemente sostituire nella formula appena trovata i seguenti valori: P = 50 kg,  b = 3,00 m,  l = 5,00 m,

questo risultato dà la conferma voluta! La formula per il calcolo della reazione d’appoggio V_B viene ricavata allo stesso modo. Infatti, anche per il punto A deve aversi ΣM uguale zero:

Si prenda nota di questa seconda formula: 

Si verifichi che questa formula è giusta, applicandola ancora al caso della trave rappresentato nella fig. (*): Si supponga di dovere calcolare la reazione V_B. Bisogna allora sostituire nella formula trovata i seguenti valori: P = 50 kg,    a = 2,00 m,    l = 5,00 m,

Anche questo risultato conferma che la formula è giusta!

Si Svolge un esempio nella fig. (*) è rappresentata una trave lunga m 10, sulla quale agisce un carico di 200 kg, alla distanza di m 2,00 dall’appoggio A e di m 8,00 dall’appoggio B. Quali sono le grandezze delle reazioni di appoggio V_A e V_B?

Le grandezze delle reazioni di appoggio si calcolano con le formule sopra trovate. Si devono quindi sostituire in esse i seguenti valori: P = 200 kg,    a = 2,00 m,   b = 8,00 m,   l = 10,00 m. Per la reazione di appoggio V_A

Per la reazione di appoggio V_B

Ora si veda quali valori assumono le reazioni di appoggio quando il carico P = 200 kg è applicato nel punto centrale della trave.

Anche in questo caso si trovano le grandezze delle reazioni di appoggio applicando le formule di cui sopra, sostituendo in esse i seguenti valori: P = 200 kg,    a = 5,00 m,    b = 5,00 m,    l = 10,00 m.

Questi risultati si potevano evidentemente prevedere anche senza eseguire dei calcoli, poiché il carico di 200 kg viene equilibrato da due reazioni uguali V_A e V_B nei rispettivi appoggi A e B. Per una tale condizione di carico, che si dice “condizione di carico simmetrica”, le reazioni degli appoggi sono sempre uguali, e precisamente ciascuna di esse è uguale alla metà del carico complessivo. In questi semplicissimi esempi svolti si trova sempre confermata la regola che la somma delle reazioni degli appoggi V_A e V_B, è uguale al carico P; si ha cioè che:

V_A + V_B = P

Ne risulta che per gli esempi svolti finora si ha che:

per il primo esempio: P = 160 kg + 40 kg = 200 kg

per il secondo esempio: P = 100 kg + 100 kg =200 kg

Questo fatto si può utilizzare come controllo dei calcoli precedenti. Invece di V_A + V_B = P, si può anche scrivere, portando V_B oppure V_A, nel secondo membro dell’equazione:

V_A = P – V_B   oppure    V_B = P – V_A

Quindi, se si conosce una delle reazioni di appoggìo, si può calcolare l’altra con queste semplici formule. Nel primo esercizio svolto si poteva determinare la reazione di appoggio V_B, dopo aver trovato V_A = 160 kg: nel seguente modo: V_B = P – V_A = 200 kg -160 kg = 40 kg. Si noti che nei calcoli svolti finora si è trascurato il peso proprio della trave. In precedenza si è detto che, per semplificare gli esempi di calcolo delle travi, si immaginavano queste ultime, in un primo tempo, come prive di peso. Nei casi pratici, invece, bisogna sempre tenere conto del peso proprio delle travi, ciò non presenta d’altronde alcuna difficoltà, come si vedrà negli esempi che verranno svolti qui di seguito.

Trave su due appoggi con diversi carichi applicati

Se sopra di una trave agiscono parecchi carichi, ad esempio tre come nella figura seguente fig. (*), le reazioni di appoggio si calcolano sempre come si è esposto precedentemente. Si applica sempre la regola che la somma di tutti i momenti, rispetto ad un qualsiasi punto, deve essere uguale a zero.

Si calcoli anzitutto questa somma ΣM rispetto all’appoggio B. Distinguemmo i vari carichi con un indice (1, 2, 3, ….) le distanze dei carichi stessi dagli appoggi avranno gli stessi indici. La somma di tutti i momenti di rotazione attorno all’appoggio B deve essere uguale a 0; avremo quindi:

Si risolva I’equazione rispetto a V_A. Si trasportano anzitutto tutti i termini che non contengono la reazione cercata V_A nel secondo membro, a destra, dell’equazione:

Con questa formula si può calcolare la reazione V_A. In pratica succede spesso di avere delle travi con un numero molto maggiore di carichi. Ad esempio, su un ponte ferroviario ogni ruota di un treno costituisce uno di tali carichi P.

Sarebbe perciò molto lungo scrivere per esteso la formula per il calcolo di V_A. Si usa perciò la seguente notazione: cosi come per la somma di tutti i momenti si è adottata l’abbreviazione Σ M, scriveremo anche:

invece di

Il significato di Σ P · b è quindi il seguente: tutti i carichi P-esimo, che agiscono sulla trave, debbono essere moltiplicati ciascuno per la rispettiva distanza b-esimo dall’appoggio B, e tutti i prodotti così ottenuti debbono essere sommati. La formula che dà la reazione di appoggio V_A è quindi la seguente:

La formula quindi che dà la reazione di appoggio V_B, sarà analogamente:

Si svolga un esempio numerico. Quali sono le grandezze delle reazioni di appoggio V_A e V_B nella trave rappresentata nella fig. (*), sulla quale agiscono quattro carichi, e precisamente P₁ = P₂ = 10 kN  e  P₃ = P₄ = 5 kN ?

Quando i carichi sono molto elevati, si usa, come unità di misura, il chilo-Newton (abbreviazione: kN). È noto che 9,8 kN = 1000 kg per approssimazione si scrive che 1000 kg siano pari 10 kN. Se adottassimo come unità di misura il kg, nei calcoli si avrebbero dei numeri molto elevati; il calcolo riuscirebbe laborioso, e sarebbe facile incorrere in errori. La grandezza delle reazioni di appoggio V_A e V_B si trova con le rispettive formule sopra trovate. Si Calcoli anzitutto la reazione di appoggio V_A: Dobbiamo moltiplicare ogni carico P per la sua distanza b dall’appoggio A, e quindi sommare tutti questi prodotti:

Allo stesso modo si calcola la reazione di appoggio V_B, con la formula corrispondente:

Si esegue, per maggiore sicurezza, anche il solito calcolo di controllo, secondo la regola, per cui la somma di tutti i carichi sulla trave deve essere uguale alla somma delle due reazioni:

Il calcolo è stato dunque eseguito bene.

La seconda condizione di equilibrio

Prima di parlare della seconda condizione di equilibrio, è opportuno fare un breve riepilogo di quello che è stato enunciato riguardo la prima condizione di equilibrio; espressa dalla formula Σ M = 0. Questa condizione dice che lo somma di tutti i momenti, che tendono a far girare la trave, attorno a qualsiasi punto di essa, deve essere uguale a zero, affinché la trave si trovi in equilibrio. Ogni momento tende a far ruotare il corpo sul quale esso agisce, e la rotazione non avviene, cioè il corpo rimane in equilibrio, solo quando un momento di uguale grandezza agisce sul corpo in senso contrario. Poiché due momenti di uguale grandezza agenti in senso contrario sono espressi da numeri preceduti da segni contrari, la loro somma è uguale a zero. Questo è il significato della prima condizione di equilibrio. Applicando questa condizione, si è potuto determinare dapprima la reazione dell’appoggio di una altalena bascullante e quindi le reazioni nei due appoggi di una trave. Per il calcolo delle reazioni nel caso di una trave su due appoggi caricata con un solo carico, si sono applicato le formule:

e quindi anche le formule, che danno le reazioni degli appoggi quando, sulla trave agiscono diversi carichi:

Si sono anche verificati i risultati del calcolo delle reazioni degli appoggi eseguito con le predette formule, in base alla condizione già trovata anche nel caso dell’altalena bascullante, per cui, per avere l’equilibrio, la somma delle forze dirette verso il basso deve essere uguale alla somma delle forze dirette verso l’alto. Precedentemente si è citato l’esempio dell’uomo che mantiene sollevata l’asse di una altalena bascullante, che tende ad abbassarsi. L’uomo deve, in tal caso, esercitare uno sforzo, diretto verso l’alto, uguale al carico (peso) sospeso all’asse e che tende ad abbassarla. Questa condizione, che è altrettanto importante tanto quanto la prima condizione di equilibrio, costituisce la seconda condizione di equilibrio, e viene espressa come segue:

La somma di tutte le forze, agenti verticalmente verso il basso su un corpo (trave) in equilibrio (in stato di quiete), è uguale alla somma di tutte le forze agenti verticalmente sul corpo stesso e dirette verso l’alto.

Nella Statica si usa considerare come positive le forze che agiscono verticalmente e sono dirette verso l’alto (con segno +) e come negative le forze agenti verticalmente verso il basso (con segno -). Si può quindi esprimere la seconda condizione di equilibrio anche nel seguente modo:

La somma di tutte le forze, agenti verticalmente su un corpo (trave) in equilibrio (allo stato di quiete), deve essere uguale a zero.

Se si indicano genericamente le forze verticali con la lettera V (come si è sottinteso negli esempi precedentemente svolti), la seconda condizione di equilibrio potrà essere espressa con la formula:

ΣV = 0

Nell’impiego di questa formula bisogna ricordarsi di scrivere tutte le forze precedute dal rispettivo segno, corrispondente al senso della loro direzione, cioè con il segno +, quando sono rivolte verso l’alto e con il segno -, quando sono rivolte verso il basso. Detto ciò, quindi, se ad esempio, si applica la seconda condizione di equilibrio all’ultimo esercizio svolto si scrive:

Il calcolo può essere, eseguito anche nel modo seguente: Forze che agiscono verso l’alto

Forze che agiscono verso il basso

La somma di tutte le forze verticali agenti verso l’alto è dunque uguale alla somma di tutte le forze verticali agenti verso il basso; la seconda condizione di equilibrio è quindi soddisfatta.

I momenti flettenti nelle travi su due appoggi

Fino adesso si è visto come una trave su due appoggi si trovi in equilibrio, ciò che significa che la somma dei momenti flettenti dovuti al carico P ed alle reazioni degli appoggi V_A, V_B, è uguale a zero. Il carico sulla trave non provoca nessuna rotazione di questa, ma, esattamente come si verifica nella trave a sbalzo, esso provoca una incurvatura o flessione della trave. Una trave sottoposta ad un carico collocato in mezzeria si inflette come è rappresentato nella figura seguente per mezzo della linea continua, la quale tuttavia esagera la grandezza della incurvatura, che in realtà sarà minore.

È noto che una inflessione è sempre l’effetto di momenti flettenti. Questi momenti flettenti, e soprattutto il massimo di essi, devono essere conosciuti, per potere calcolare le necessarie dimensioni della trave, affinché essa possa resistere al carico. Si è visto già come si calcolano i momenti flettenti nelle travi a sbalzo. Ci si chiede perciò come si calcolano nelle travi su due appoggi. Quando un carico concentrato P è applicato fig. (*) sulla mezzeria della trave, le reazioni dei due appoggi, come si già appurato, sono uguali tra loro e ciascuna di esse è precisamente uguale alla metà del carico applicato; si ha cioè:

Si consideri ora una metà della trave e precisamente la metà a destra del carico. La linea a mano libera tracciata nella fig. (*), in corrispondenza della forza P, vuole indicare che si immagina di aver tagliato in tale punto la trave e che la metà destra sia incastrata nel punto stesso dove è applicato il carico P. La metà destra della trave costituisce quindi una trave a sbalzo (come si vede nella fig. ), caricata alla sua estremità libera con una forza diretta verso l’alto uguale alla reazione di appoggio V_B = P / 2. Se si capovolge il disegno, si osserva in detta figura capovolta la linea curva a tratti e punti che rappresenta una trave a sbalzo inflessa, caricata dall’alto. La metà destra della trave rappresentata in fig.(*) si comporta dunque esattamente come una trave a sbalzo incastrata nel punto di applicazione del carico; il momento flettente in una trave su due appoggi caricata da un carico unico sulla mezzeria è esattamente uguale al momento flettente di una trave a sbalzo lunga la metà della prima, che alla estremità libera è sollecitata da un carico diretto verso l’alto. Questo carico diretto verso l’alto è, in questo caso, la reazione di appoggio V_B (invece di V_B si può scrivere anche P/2, ed il braccio di leva di questo carico, rispetto all’incastro, è uguale alla metà della lunghezza della trave su due appoggi, cioè è uguale a l/2). Il momento flettente nel centro della trave, cioè nella sezione di incastro della trave a sbalzo immaginata, sarà:

Se ora si vuole sapere la grandezza del momento flettente in qualsiasi altro punto della trave, punto che indicheremo con X, ad una distanza che chiameremo x dall’appoggio, si procederà in modo simile a quello usato per il calcolo del momento nel centro della trave. Quindi immaginiamo di tagliare la trave nel punto X e che la parte a sinistra di X venga incastrata nel punto X stesso fig. (*). Otteniamo allora una trave a sbalzo di lunghezza x, alla cui estremità libera agisce un carico diretto verso l’alto. Questo carico è la reazione di appoggio V_A, che, evidentemente, è uguale a P/2. Il momento flettente della sezione distante x da A sarà perciò:

La lettera x posta in basso dopo M significa che M è il momento flettente della trave alla distanza x dall’appoggio sinistro A. Nello stesso modo si possono calcolare i momenti flettenti in tutti i punti della trave. Se poi, in corrispondenza di ogni punto della trave, si rappresenta graficamente, con un segmento perpendicolare alla trave, il valore del momento flettente trovato, si ottiene il diagramma triangolare dei momenti flettenti rappresentato nella fig. (*). Ciascuna metà di questo diagramma dei momenti flettenti, corrispondente ad una metà della trave, deve avere, secondo quanto si è detto, la stessa forma del diagramma dei momenti flettenti di una trave a sbalzo, che porta un carico alla sua estremità libera.

Il procedimento della sezione

Da quanto esposto fin qui si vede come sia stato opportuno che, per procedere nello studio della Statica, conoscere anzitutto la trave a sbalzo ed i calcoli relativi ad essa. Infatti, con le nozioni apprese sulla trave a sbalzo, si è passati a calcolare senza difficoltà anche i momenti flettenti e le reazioni di appoggio che si hanno nelle travi su due appoggi. A tale scopo, per calcolare il momento flettente in un qualsiasi punto della trave, basta immaginare di tagliare in due pezzi la trave nello stesso punto e considerare uno dei due tronchi di trave come una trave a sbalzo incastrata. Questo procedimento per il calcolo dei momenti flettenti si dice “procedimento della sezione”. Con questo procedimento si possono determinare i momenti flettenti anche nel caso in cui il carico non è applicato sulla mezzeria della trave. Si esamini ora questo caso: Si consideri, quindi, una trave su due appoggi, sulla quale è applicato un solo carico concentrato P, alla distanza a dall’appoggio A e alla distanza b dall’appoggio B figura (*). Per determinare il momento flettente nella sezione della trave in corrispondenza del punto in cui è applicato il carico P, si immagini di tagliare la trave nel punto stesso, o, come si dice, di sezionarla. È indifferente, se dei due tronchi di trave ottenuti con il sezionamento si considera quello a destra o quello a sinistra; infatti, in entrambi i casi per il suddetto momento flettente si otterrà sempre lo stesso valore.

Tronco di trave a sinistra:

Si immagini il tronco della trave, a sinistra, incastrato nel punto dove è applicato il carico P. L’unica forza che agisce su tale tronco è allora la reazione di appoggio V_A e la sua distanza dalla sezione di incastro è a, cosicché il momento flettente in detta sezione è:

Al posto di V_A possiamo scrivere il rispettivo valore dato dalla formula ricavata in precedenza, ovvero:

quindi sostituendo

Tronco di trave a destra:

Si immagini ora incastrato, nel punto dove è applicato il carico, il tronco destro della trave, ottenuto con il sezionamento. Su questo tronco agisce la reazione di appoggio V_B, la cui distanza dalla sezione di incastro è b. AI posto di V_B si può scrivere il rispettivo valore dato dalla formula ricavata in precedenza:

si ha perciò:

In entrambi i casi abbiamo ottenuto lo stesso valore del momento flettente, poiché (P · b · a) è uguale a (P · a · b). Se si vuole dunque calcolare un momento flettente, si può immaginare come una trave incastrata tanto il tronco destro, quanto quello sinistro e farne il calcolo del momento flettente all’incastro. Come si vedrà in seguito, si sceglie sempre, per ragioni pratiche, il tronco per il quale il calcolo riesce più semplice. Si calcoli ora il momento flettente in una sezione che si trovi ad una qualsiasi distanza x dall’appoggio A. Questo momento flettente è, come già si è visto, M_X = V_A · x.Al posto di V_A si può scrivere, secondo le formule che già si sono utilizzate per il calcolo delle reazioni, P · b / l, cosicché avremo:

Il diagramma dei momenti flettenti dovuti ad un solo carico concentrato è rappresentato nella fig. (*). Si esaminano anche in questo caso degli esempi numerici allo scopo di impratichirci. Si determinino i momenti flettenti per la trave, rappresentata nella fig. (*), portante un carico P = 600 kg. Si disegni anche il diagramma di detti momenti flettenti. Si calcolano anzitutto le reazioni degli appoggi:

Si verifichino questi risultati: V_A + V_B deve essere uguale a P; 400 kg + 200 kg = 600 kg; esatto! La distanza del carico P dall’appoggio A è a = 4,00 m; dall’appoggio B tale distanza è invece b = 8,00 m. Il momento flettente M_a, nel punto di applicazione del carico, deve essere uguale al momento flettente M_b pure nello stesso punto. Poiché:

ed essendo anche

sarà anche M_a = M_b. Si calcoli ora questo momento flettente.

Non occorre esprimere le reazioni V_A e V_B con le relative formule, ma si possono scrivere i loro valori già trovati:

ed anche, se si considera il tronco destro della trave:

Si Calcoli ora il momento flettente che si ha nel punto posto alla distanza x = 2,00 m dall’appoggio A: Si immagini ancora una volta di sezionare la trave in tale punto e che il tronco che ne risulta, della lunghezza di m 2,00, venga incastrato nel punto dove si è immaginato il sezionamento. Il momento flettente sarà in tale punto, come già si è visto:

Se si vuole conoscere anche la grandezza dei momenti flettenti negli altri punti della trave, non occorrerà eseguire il calcolo per ognuno dei vari punti. Sarà molto più semplice disegnare il diagramma dei momenti flettenti, sul quale si potrà leggere senz’altro la grandezza del momento flettente in qualsiasi punto della trave. Si esegua dunque il disegno del diagramma del momenti flettenti. Esattamente al di sotto della trave AB si traccia un segmento O – O orizzontale, della stessa lunghezza della trave. Su tale segmento sia C il punto sottostante a quello in cui il carico P agisce sulla trave. Da questo punto C si traccia, perpendicolarmente al segmento O – O e verso il basso, un segmento che rappresenti il momento flettente M_a = 1600 kgm. La scala, in cui vengono rappresentati i momenti flettenti, sia 1 mm = 100 kgm. In corrispondenza del punto C si dovrà dunque riportare verticalmente, verso il basso, un segmento di 16 mm, che rappresenta un momento flettente di 1600 kgm. Si congiungano l’estremità inferiore C^‘ del segmento verticale lungo 16 mm con gli estremi O. Si è così ottenuto il diagramma triangolare rappresentato con tratteggio nella fig. (*). Da questo diagramma si possono rilevare i momenti flettenti relativi a tutti i punti della trave. Se, ad esempio, si vuole sapere quale è la grandezza del momento flettente nella sezione a m 2,00 di distanza dall’appoggio B, si misurerà, in corrispondenza di tale distanza, l’altezza del diagramma dei momenti flettenti; essa è precisamente di 4 mm. Il momento flettente sarà quindi di 400 kgm. Si può ora constatare che non sarebbe stato necessario calcolare il momento flettente per il punto posto alla distanza x = 2,00 m dall’appoggio A, perché si sarebbe potuto misurare direttamente sul diagramma. Anche nelle travi su due appoggi, come nelle travi a sbalzo incastrate ad una estremità, si verifica che i diagrammi dei momenti flettenti presentano, in corrispondenza ai punti di applicazione dei singoli carichi, delle deviazioni brusche nella loro linea di contorno, cioè dei punti di cuspide. In corrispondenza ai tratti di trave dove non è applicato alcun carico, la superficie dei diagrammi dei momenti flettenti è limitata da segmenti rettilinei.

Sollecitazioni di trazione e di compressione nel corpi caricati per flessione

Nella trattazione fatta sulla “Resistenza dei Materiali”, si è visto che in una trave inflessa, dalla parte della concavità si hanno nel materiale delle sollecitazioni di compressione, e dalla parte della convessità si hanno invece delle sollecitazioni di trazione. Ciò, perché la convessità della trave è sempre una conseguenza dello stiramento del materiale (cioè delle sue fibre) per effetto delle sollecitazioni di trazione, mentre la concavità è dovuta ad accorciamento delle fibre del materiale, provocato da sollecitazioni di compressione.

Quando una trave su due appoggi od una trave a sbalzo viene così piegata, da presentare una convessità nella parte inferiore, in tale parte agiranno delle sollecitazioni di trazione, mentre sulla parte superiore agiranno delle sollecitazioni di compressione. L’inflessione della trave su due appoggi verso il basso è dovuta ad un carico applicato dall’alto, come di solito avviene fig. (*); un’inflessione di una trave a sbalzo dal basso verso l’alto, come si vede nelle fig. (*), si verifica invece, quando alla trave sono applicate delle forze con direzione dal basso verso l’alto, come evidentemente può accadere soprattutto nelle costruzioni edili. Il caso contrario è rappresentato nella fig. (*). Qui la trave su due appoggi e la trave a sbalzo vengono piegate in modo, da presentare la concavità in basso e la convessità in alto; si avranno quindi delle sollecitazioni di trazione nella parte superiore delle travi, e delle sollecitazioni di compressione nella parte inferiore. La trave su due appoggi dovrebbe, in questo caso, essere sollecitata dal basso verso l’alto, e la trave a sbalzo sollecitata dall’alto verso il basso fig. (*).

Momenti di rotazione e momenti flettenti

Nelle travi a sbalzo rappresentate nelle fgg.(**) precedenti, sono state indicate con frecce curve, non solo il momento applicato a ciascuna trave dovuto al carico, ma anche un secondo momento in senso contrario, segnato posteriormente all’incastro. Quale relazione hanno i due momenti indicati, per ciascuna delle travi a sbalzo rappresentate nelle figg. (**)? In precedenza si è visto il significato della causa che provoca la flessione di un trampolino, e si è data anche la formula M = P · a  per il calcolo della forza che provoca tale flessione, forza il cui valore è determinato dal prodotto Carico x Distanza da un punto prestabilito. Nelle assi della altalena bascullante, di cui si è già parlato, il prodotto Carico x Distanza è stato denominato “momento di rotazione” e non “momento flettente“. Infatti è evidente che il carico posto sul braccio di una altalena bascullante tende a fare ruotare l’altalena stessa attorno al centro di rotazione. È anche evidente che la rotazione non ha luogo, quando l’asse della altalena bascullante è in equilibrio, cioè quando sull’altro braccio dell’asse agisce un momento di rotazione di uguale grandezza e di senso opposto. La prima condizione di equilibrio espressa da ΣM = 0 è stata riconosciuta valida per il caso considerato dell’asse della altalena. L’asse della altalena bascullante che si trovi in equilibrio non compie alcuna rotazione, ma viene inflessa. Qual è la grandezza del momento flettente che provoca tale flessione? Esso è uguale a ciascuno dei due momenti di rotazione. Il momento flettente ed il momento di rotazione sono di uguale grandezza, ma hanno due diversi significati: il momento di rotazione tende a far ruotare l’asse che costituisce l’altalena bascullante, il momento flettente ne provoca la flessione o incurvatura. Il momento flettente agisce solo quando l’asse si trova in condizione di equilibrio, cioè quando non è possibile alcuna rotazione; poiché sulla altalena bascullante agiscono due momenti di rotazione di uguale grandezza e di senso opposto. È evidente che la prima condizione di equilibrio è da interpretare nel senso che la somma di tutti i momenti di rotazione sia uguale a zero, ma che però, nello stesso tempo e precisamente per tale ragione, i corpi in equilibrio vengano ad essere sollecitati da momenti flettenti. Ciò risulta anche dalle fìg. (*), dove è rappresentata una barretta che viene piegata con le due mani. È anche evidente tra l’altro che con una mano sola la barretta non può essere piegata, ma può essere solo fatta ruotare. Per piegarla, quindi, entrambe le mani devono cercare contemporaneamente di fare ruotare la barretta, con uguale forza, in senso contrario. La fig. (*) mostra precisamente due momenti di rotazione di uguale grandezza e di senso contrario, i quali solo agendo contemporaneamente provocano la flessione ovvero l’incurvatura della barretta. Con questo esempio semplicissimo si è data la percezione dell’azione in senso opposto di due momenti di rotazione; ciò accade in tutte le travi a sbalzo e in tutte le travi su due appoggi caricate ed in equilibrio: in tutti i casi pratici si hanno sempre due momenti di rotazione di uguale grandezza e di senso opposto. Da quanto si è detto finora è evidente che, nella Statica, la quale si occupa solo di quelle forze che non provocano movimento, ma mantengono gli elementi delle strutture e le parti costruttive in stato di quiete, ovvero in equilibrio, non si avrà mai a che fare con singoli momenti di rotazione, ma sempre con momenti di rotazione, di senso opposto, e di uguale grandezza, appaiati fra loro, che insieme non danno luogo quindi a nessuna rotazione, bensì ad una flessione.

La fig. (*) serve a chiarire la natura del fenomeno dell’incurvatura, ed a vedere il gioco delle forze interne in ciascuna sezione di una trave incurvata. Da questa figura si vede con chiarezza da quale parte la barretta piegata sia sollecitata a trazione e da quale parte sia invece sollecitata a compressione. Nella figura in basso, inoltre si vede che il momento applicato a sinistra è diretto verso destra o, come si dice, è destrorso (di senso uguale al movimento delle lancette dell’orologio), mentre quello applicato a destra tende a provocare una rotazione verso sinistra, cioè è sinistrorso. Questo ultimo caso è identico a quello che si verifica in una trave su due appoggi caricata con una forza diretta dall’alto verso il basso; infatti tale trave viene piegata nello stesso modo dalle reazioni di appoggio e precisamente, alla estremità sinistra da una forza diretta verso destra, ed alla estremità destra da una forza diretta verso sinistra. Come la trave su due appoggi quando questa viene tesa nella parte inferiore e compressa nella parte superiore.

Momenti flettenti positivi e negativi

Per potere sempre determinare con sicurezza quale delle due parti della trave sia sottoposta a trazione e quale a compressione, si stabilisce che i momenti flettenti che danno luogo ad una sollecitazione di trazione nella parte inferiore della trave siano considerati positivi, e quindi contraddistinti con il segno (+), e che i momenti flettenti che danno invece luogo ad una sollecitazione di trazione nella parte superiore della trave siano considerati negativi, e quindi contraddistinti con il segno (-).Si possono quindi dare le seguenti importantissime regole in rapporto ai segni che precedono l’indicazione della grandezza dei momenti flettenti: I momenti flettenti sono considerati positivi, quando il momento di rotazione applicato a sinistra tende a provocare una rotazione verso destra, ed il momento di rotazione applicato a destra tende a provocare una rotazione verso sinistra: quindi brevemente: da sinistra a destra e da destra a sinistra … +. Graficamente viene rappresentato nel modo seguente:

I momenti flettenti sono considerati negativi, quando il momento di rotazione applicato a sinistra tende a provocare una rotazione verso sinistra, ed il momento di rotazione applicato a destra tende a provocare una rotazione verso destra; quindi brevemente: da sinistra a sinistra e da destra a destra … -. Graficamente viene rappresentato nel modo seguente:

È interessante fare una ulteriore considerazione sul fatto che si sia dovuto distinguere la diversa natura dei momenti di rotazione e dei momenti flettenti. Essi sono, come si è già detto, di grandezza uguale, ma i loro effetti sono diversi: l’effetto dei momenti di rotazione è una rotazione e l’effetto dei momenti flettenti è una flessione. Perciò non ci si deve confondere circa la regola dei segni + o – da premettere ai momenti, regola che già si conosce attraverso gli esempi svolti in precedenza. Fino ad ora si è trattato, a proposito della condizione di equilibrio espressa da ΣM = 0, di momenti di rotazione e la regola circa il segno da premettere si è basato esclusivamente sul senso della rotazione provocata dal momento di rotazione; infatti, negli esempi svolti ci si è semplicemente domandati: – In quale direzione il momento di rotazione tende a fare girare la trave o parti di essa? – Se tende a farla girare nel senso delle lancette dell’orologio, cioè verso destra, allora il momento è positivo e ad esso si fa precedere il segno +; se invece il momento tende a provocare una rotazione in senso contrario a quello delle lancette dell’orologio, cioè verso sinistra, il momento di rotazione è da considerarsi negativo e ad esso si fa precedere il segno -. Ora invece non si tratta più di momenti di rotazione e del loro effetto. Ora ci si chiede invece: – In quale parte della trave il momento flettente da luogo a sollecitazioni di trazione? – Se queste si verificano nella parte inferiore della trave, allora il momento flettente è considerato positivo e va preceduto dal segno +; se il momento flettente provoca invece delle sollecitazioni di trazione nella parte superiore della trave, esso va considerato negativo e va preceduto dal segno -. Si Svolga adesso un esempio per vedere quale sia l’importanza di attribuire ai momenti flettenti il segno esatto. Quindi, si calcolano i momenti flettenti che agiscono sulla trave su due appoggi rappresentata nella fig. (*). Si deve anzitutto, come sempre in questi calcoli, determinare le forze che mantengono in equilibrio Ia trave, cioè si devono determinare le reazioni degli appoggi.

A tale scopo si applicano le formule che già si conoscono:

Sostituendo i valori dati

Si verifichi il risultato ottenuto, infatti deve essere ΣV = 0.

Le reazioni degli appoggi sono quindi state calcolate esattamente. Si Calcola ora, con il procedimento della sezione, il momento flettente nella posizione 1: si immagina cioè di avere sezionato la trave in questa posizione ed immagini anche che il tronco a sinistra sia una trave a sbalzo incastrata nelle posizione 1; si avrà, che:

Si è fatto precedere il valore del momento flettente dal segno + (positivo) perché la forza V_A tende a piegare il tronco di trave in modo tale da avere delle sollecitazioni di trazione nella parte inferiore. Si Calcoli ora il momento flettente nella posizione 2. Si immagina di tagliare in questa posizione la trave ed inoltre si immagini anche che il tronco a sinistra della trave tagliata sia incastrato nella posizione 2 fig.(*). Si ha quindi una trave a sbalzo sulla quale sono applicati due carichi e cioè V_A e P₁. Questi due carichi agiscono secondo due opposte direzioni, poiché infatti V_A agisce verso l’alto e P₁ agisce verso il basso. La forza V_A dà luogo con un braccio di leva di 6,00 m, ad un momento flettente positivo, perché esso tende ad inflettere la trave a sbalzo nel senso positivo verso l’alto. La forza P₁ tende invece a piegare la trave a sbalzo in senso contrario, e cioè verso il basso. La forza P₁, applicata ad una distanza di m 3,00 dalla posizione 2 dà luogo ad un momento flettente negativo. Avremo cioè che:

Questo momento flettente si sarebbe potuto calcolare anche più facilmente, se invece del tronco a sinistra della trave tagliata si considerava il tronco a destra fig. (*). Infatti sul tronco a destra del taglio immaginario agisce solo la forza V_B. Questa forza V_B dà luogo ad un momento flettente positivo, come risulta dalla fig. (*). ovvero:

Si è dunque calcolato lo stesso momento flettente M₂ già trovato in precedenza, ma in modo più semplice. In tali calcoli conviene infatti sempre considerare il tronco di trave sul quale è applicato il minore numero di carichi. Il calcolo dei momenti flettenti, considerando prima il tronco a destra e poi quello a sinistra, costituisce un buon metodo di verifica della esattezza dei calcoli, poiché il risultato ottenuto considerando uno dei due tronchi deve essere uguale al risultato ottenuto considerando l’altro tronco. Nella fig. (*) si è tracciato il diagramma dei momenti flettenti che agiscono verso il basso su tutta la sua lunghezza; in tutte le posizioni si hanno quindi delle sollecitazioni di trazione nella parte inferiore della trave, cioè in tutte le posizioni i momenti flettenti saranno positivi, come del resto risulta già anche dai calcoli eseguiti. Per tracciare il diagramma, si sono quindi portati i valori calcolati dei momenti flettenti verso il basso, a partire dalla retta di riferimento O – O. Quando in una trave si hanno dei momenti negativi, nel relativo diagramma essi vengono riportati verso l’alto, sempre a partire dalla retta O – O di riferimento. Si svolga un ulteriore esempio quasi simile al precedente. Si calcolano i momenti flettenti per la condizione di carico rappresentata nella fig. (*).

Si scrivano anzitutto nel disegno le distanze di ogni carico dagli appoggi, perché tali distanze sono utili per la determinazione delle reazioni degli appoggi. Si Calcolano dunque queste reazioni come già si è fatto negli esempi precedenti. Per V_B e V_A avremo:

Si verifichi il risultato ottenuto. Deve essere ΣV = 0.

Esatto ! Si Calcolano ora i momenti flettenti con il noto procedimento della sezione. Momento flettente nella posizione 1

Momento flettente nella posizione 2

Momento flettente nella posizione 3

L’ultimo di questi momenti flettenti si poteva calcolare più facilmente, considerando il tronco della trave a destra della sezione di taglio, ovvero:

Con i valori di questi tre momenti flettenti si può ora disegnare il diagramma. Nella trave considerata in questo esempio la sezione pericolosa si trova nella posizione 2, poiché in essa, come risulta dal diagramma, si ha il massimo momento flettente. Si faccia un ulteriore esempio. Su una trave di 12 m di lunghezza sono applicati i carichi concentrati, alla distanza di 2,00 m l’uno dall’altro. Questi carichi sono di uguale grandezza e precisamente di 40 kN fig. (*). Si calcolino i momenti flettenti e si disegni il loro diagramma.

Si calcolano le reazione degli appoggi. Poiché questa condizione di carico è simmetrica, cioè ad ogni carico applicato a sinistra della mezzeria della trave corrisponde un carico uguale, ad una stessa distanza, a destra della mezzeria, le due reazioni di appoggio sono uguali, e ognuna di esse è uguale alla metà della somma di tutti i carichi:

Questo risultato può essere verificato anche applicando le formule che già si conoscono ovvero:

Si Calcolano ora i momenti flettenti con il procedimento della sezione. Momento flettente nella posizione 1, 2 e 3.

Non occorre che si calcolano i momenti flettenti per gli altri punti di applicazione dei carichi, perché, essendo il carico simmetrico, anche i momenti flettenti sono simmetrici. Si avrà perciò M₄ = M₃, M₂ = M₅ e M₁ =M₆, e quindi M₄ = 360 kNm, M₅ = 280 kNm, M₆ = 120 kNm. Nella fig. (*) il diagramma dei momenti flettenti è stato disegnato nella scala 1 mm = 10 kNm. In questo esempio il massimo momento flettente, e quindi anche la sezione pericolosa non si ha solo in una posizione ma sull’intero tratto lungo 2,00 m, dal punto 3 fino al punto 4, il quale risulta perciò sottoposto alla massima sollecitazione di flessione e nel quale il pericolo di rottura è uguale per tutta detta lunghezza.