Lezioni di scienza delle costruzioni

CAPITOLO   1           LE TENSIONI INTERNE

1 .1     LA STRUTTURA CONCETTUALE DI TENSIONE [1]
Per l’approccio iniziale allo studio del comportamento elastico dei materiali da costruzione possiamo per prima cosa considerare un corpo di forma qualsiasi assoggettato dall’esterno da determinate forze che lo sollecitano. All’interno del corpo nasce uno stato di coazione [2] cioè uno stato tensionale. Scegliamo all’interno di questo corpo un punto P e da esso tracciamo tre assi di riferimento X, Y, Z, e quindi pensiamo di isolare un elemento piccolissimo a forma di parallelepipedo di lati infinitesimi dx, dy, dz.

Se si immagina adesso di isola l’elemento infinitesimo dal corpo e alle facce corrispondenti vengono applicate le azioni che la parte soppressa trasmette a questo elemento infinitesimo, esso evidentemente rimane in equilibrio.

Inoltre, se si considera una superficie generica δA piccolissima e un punto P ad essa appartenente, nell’ipotesi di avere già determinato il valore della tensione media ρ agente nel punto P, considerata un’area infinitesima δA intorno a P, la forza F che agisce sull’area δA è uguale a:

Si consideri il piano P, Y, Z, su questo piano agisce una certa tensione ρ_x, questa si può ritenere costante perché la superficie su cui agisce è infinitesima fig. (*).

Se il vettore tensione ρ_x  passante per P è inclinato di un certo angolo rispetto alla normale n_x della superficie considerata, questo risulta scomponibile in tre componenti, una componente normale alla faccia stessa e, le altre due componenti una parallela all’asse Y e l’altra all’asse Z. Esaminiamo il piano P, X, Y, il vettore tensione ρ_z passante per P ma appartenente a questa giacitura si può decomporre in tre componenti una normale alla faccia stessa e le altre due componenti parallele una all’asse X e l’altra all’asse Y. Infine, se si considera il piano P, X, Z, anche qui il vettore ρ_y associato a questa superficie infinitesima si decompone ancora in tre componenti, una secondo la normale al piano stesso, e le altre due parallele agli assi coordinati corrispondenti. Esaminiamo più in dettaglio il parallelepipedo elementare di lati infinitesimi dx, dy, dz, e in particolare cominciamo con la superficie contenuta nel piano coordinato P, Y, Z; decomponiamo il vettore tensione ρ_x associato secondo la componente normale al piano stesso (le componenti normali vengono indicate sempre con il simbolo greco σ si legge sigma) quindi la componente normale a questa faccia sarà σ_x (l’indice x sta ad indicare che l’asse X è ortogonale alla faccia considerata). Se quindi ora proiettiamo il vettore tensione ρ_x sul piano associato si ottengono le componenti tangenziali: una componente parallela all’asse Z e l’altra parallela all’asse Y (queste componenti tangenziali vengono indicate con la lettera greca τ si legge tau); queste a loro volta sono accompagnate da due indici, il primo indice x ha lo stesso significato esposto nel caso della tensione normale (rappresenta l’asse a cui la faccia è ortogonale) il secondo indice (rappresenta il nome dell’asse a cui la tensione è parallela); allo stesso modo si indicano le componenti su tutte le rimanenti facce coordinate del parallelepipedo infinitesimo. A questo punto bisogna stabilire una convenzione sui segni, per quanto riguarda le σ la convenzione è quella di assumere positive se di trazione (quindi se tendono a dilatare il corpo); per le componenti tangenziali τ il verso positivo si assume se le forze agenti sui piani coordinati hanno verso discorde a quello assunto come positivo sugli assi coordinati. Sulle facce parallele le tensioni (a distanza infinitesima) si assumono positive se hanno il verso discorde a quelle delle facce degli assi coordinati. Quindi stando così le cose possiamo dire che nel parallelepipedo infinitesimo nasce uno stato tensionale, cioè si ha una certa distribuzione di tensioni. Se si immagina ora di sezionare il solido in una serie di piccoli cubetti, se in uno avremo una condizione analoga alla precedente appena esaminata, in un altro cubetto le cose cambieranno. Questa distribuzione interna di tensioni variabile da punto a punto (da cubetto a cubetto) è quella che chiamiamo stato tensionale. Questo significa anche che se si passa dalla faccia coordinata P-B-C-D a quella parallela distante dx le cose cambiano fig. (*).

Le componenti σ, τ che sulle facce coordinate sono in tutto nove si chiamano componenti speciali di tensione. Se si passa alle facce parallele, consideriamo per esempio la componente σ_x e ci spostiamo dal punto P al punto Q, le coordinate Y e Z rimangono invariate mentre la X si incrementa di dx. Questo significa che ogni componente speciale di tensione si può considerare come una funzione variabile. Infatti la σ_x per il fatto di passare dal punto P al punto Q distante dx, subirà una variazione:

il termine

rappresenta la variazione che subisce σ_x in un tratto di lunghezza unitaria [3]; se lo stesso termine si moltiplica per dx si trova la variazione in un tratto di lunghezza dx. Lo stesso ragionamento fin qui esposto vale naturalmente per le altre componenti speciali di tensione vedi figura. A questo punto ci chiediamo se le componenti speciali di tensione siano tutte indipendenti tra loro, questo non è vero e si vedrà il perché più avanti. Innanzi tutto bisogna ricordare che sotto le sollecitazioni delle parti vicine l’elementino infinitesimo deve essere in equilibrio; [4] quindi sulla faccia P-B-C-D le forze che agiscono sono:

è cosi di conseguenza per le rimanenti facce.

2.1   LE CONDIZIONI DI EQUILIBRIO
Le condizioni di equilibrio di un solido nello spazio sono sei; possiamo cioè imporre tre condizioni di equilibrio alla traslazione e tre condizioni di equilibrio alla rotazione rispetto agli assi X, Y, Z. Cominciamo con l’imporre la condizione di equilibrio alla rotazione rispetto all’asse X. Per comodità consideriamo l’asse X^‘ parallelo ad è passante per il baricentro dell’elementino vedi la figura. Analizziamo quindi singolarmente le varie tensioni trasformate in forze e consideriamo il piano P-B-C-D. Le tensioni σ_x , τ_xy , τ_xz , moltiplicate dy ּ dz non hanno momento rispetto all’asse X^‘.

Vediamo adesso la faccia appartenente al piano coordinato P, X, Y;

e cosi via anche con le altre forze (si assume un verso di rotazione positivo antiorario) si ha:

in effetti si dovrebbe tener conto del peso proprio dell’elementino ma essendo l’asse X^‘ baricentrico  questo non da momento.

sommando i termini uguali si ha:

dividendo per (dx ּ dy ּ dz)  primo e secondo membro si ottiene:

trascurando infine in questa equazione i termini infinitesimi perché sommati a dei termini finiti si ottiene

se imponiamo l’equilibrio alla rotazione anche rispetto agli assi Y^‘ e Z^‘ paralleli a Y e Z e baricentrici, seguendo lo stesso ragionamento si ottiene :

in definitiva si hanno le relazioni di reciprocità di Cauchy [5]

quindi se si considerano due facce dell’elementino tra loro ortogonali le tensioni tangenziali sono dirette in modo convergente o divergente verso lo spigolo. (Facciamo adesso una breve considerazione: E’ la stessa cosa imporre l’equilibrio alla rotazione rispetto all’asse X tenendo conto naturalmente del peso proprio dell’elementino perché il peso proprio

moltiplicato per la distanza dall’asse è un infinitesimo del 4° ordine, quindi trascurabile).

Continuiamo con la trattazione imponendo adesso le altre tre condizioni di equilibrio alla traslazione. L’equazione alla traslazione rispetto all’asse X, considerando come verso positivo quello che va da sinistra a destra, si scrive:

se γ è il peso specifico dell’elementino il peso sarà uguale a: (γ ּ dx ּ dy ּ dz ). Se si indica con α_x , α_y , α_z  i coseni direttori del peso rispetto agli assi coordinati. Moltiplicando (γ ּ dx ּ dy ּdz ) per il rispettivo coseno direttore si ha la componente di peso in quella direzione.

se quindi è:

sostituendo si ha evidentemente

in definitiva le componenti del peso proprio sono le seguenti

dato che stiamo ipotizzando l’equilibrio alla traslazione rispetto all’asse X possiamo scrivere (X ּ dx ּ dy ּdz = 0), quindi l’equazione di equilibrio alla traslazione diventa:

e quindi eliminato gli elementi uguali ma di segno opposto si ha:

infine dividendo primo e secondo membro per (dx ּ dy ּdz) che rappresenta evidentemente il volume dell’elementino in definitiva troviamo:

questa relazione differenziale deve sempre sussistere e rappresenta la condizione di equilibrio alla traslazione secondo l’asse X dell’elementino considerato. Per le altre due traslazioni si può fare lo stesso ragionamento e quindi si può scrivere in definitiva.

queste equazioni di equilibrio si chiamano equazioni indefinite dell’equilibrio elastico [6]. Le tre equazioni scritte in forma matriciale diventano:

la matrice quadrata contenente le tensioni si chiama matrice tensore degli sforzi e contiene le sei componenti speciali di tensione σ_x , σ_y , σ_z , τ_xy , τ_yz , τ_zx .

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[1] Una tensione è per definizione una proprietà dei punti interni di un corpo connessa matematicamente in modo semplice alle forze agenti sulla superficie libera del corpo. Una tensione è quindi, per sua natura, sempre al di fuori del raggio dell’esperienza diretta, ed è pertanto un costrutto. L’intera struttura di una tensione non corrisponde a nulla nell’esperienza diretta.

[2] Si ipotizza per semplicità di esposizione, essendo il testo indirizzato a tutti coloro che sono al loro primo approccio con la meccanica dei solidi, che i materiali siano elastici, isotropi ed omogenei. Un corpo materiale isotropo è quello le cui proprietà si manifestano ugualmente in ogni direzione (si intende la direzione rispetto ad esso corpo o se si vuole, rispetto ad una terna rigidamente connessa col corpo medesimo). Quando poi all’isotropia si accompagna l’omogeneità, le proprietà saranno uguali anche in ogni punto. Si osservi pure che un corpo continuo può avere un comportamento oltre a quello qui considerato omogeneo e isotropo, anche un comportamento omogeneo ed anisotropo, isotropo e disomogeneo, disomogeneo ed anisotropo.

[3] differenziale

[4] non ha senso imporre la condizione di equilibrio sulle tensioni, ma bisogna applicare all’elementino le forze agenti sulle facce. Le forze agenti sono uguali al prodotto delle tensioni per le aree delle facce (questo è legittimo  farlo perché le superfici sono infinitesime).

[5] Augustin Louis Cauchy (Parigi 1789 – Sceaux 1857), matematico francese. Studiò all’Ecole Polytechnique; esercitò per qualche tempo la professione di ingegnere, la fama dei suoi lavori sugli integrali definiti gli procurò una nomina presso l’Ecole Polytechnique, la Sorbona e il Collegio di Francia. Dal 1830 al 1838 visse in esilio per aver negato il giuramento a Luigi Filippo. Nel 1848 venne nominato professore alla Sorbona e ottenne l’esenzione dal giuramento da Napoleone III. Cauchy fu uno dei maggiori matematici del XIX secolo: si distinse in particolare per aver conferito all’analisi caratteristiche che sono considerate tuttora fondamentali; verificò l’esistenza di funzioni ellittiche, mosse i primi passi in direzione di una teoria generale delle funzioni di variabile complessa e pose le basi per la convergenza delle serie. Perfezionò inoltre il metodo di integrazione delle equazioni differenziali lineari e si dedicò anche allo studio della propagazione della luce e alla teoria dell’elasticità.

[6] La ragione per cui si chiamano indefinite risiede nel fatto che queste relazioni devono essere sempre e comunque soddisfatte in qualunque punto interno al corpo infatti esse non dipendono né dalla condizione di carico esterno, né dalla condizione di vincolo, né dalla forma della struttura.

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CAPITOLO   2    LE CONDIZIONI DI EQUILIBRIO AL CONTORNO

1.2   IL TETRAEDRO DI CAUCHY

Si è esaminato nel capitolo precedente l’equilibrio dell’elementino generico all’interno di un corpo; vediamo adesso come è assicurato l’equilibrio al contorno, cioè tra le tensioni interne e i carichi direttamente applicati in superficie o meglio tra le tensioni interne e quelle agenti in superficie. Consideriamo a tal fine un corpo nello spazio di forma qualsiasi e supponiamo che in una certa zona della superficie siano applicati dei carichi. Sia P un punto di superficie cioè appartenente alla frontiera del corpo. Per poter meglio rappresentare in sintesi questo aspetto supponiamo che il punto sia spostato verso l’interno di una quantità infinitesima; se per il punto P tracciamo tre assi cartesiani e consideriamo l’intersezione dei punti definiti dagli assi e la superficie del corpo otteniamo evidentemente un tetraedro appartenente al corpo.

Osserviamo attentamente quindi il tetraedro elementare con le facce BPC, APC, APB appartenenti rispettivamente ai piani YZ, XZ, XY, che sono delle sezioni all’interno del corpo sulle quali agiscono le tensioni normali e tangenziali σ_x , σ_y , σ_z , τ_xy , τ_xz , τ_yx , τ_yz , τ_zx , τ_zy . La faccia ABC è una porzione infinitesima della superficie del corpo, sulla quale agiscono in generale dall’esterno delle forze; ad esempio dei carichi ripartiti. La giacitura del piano ABC sia definita dai coseni direttori α_x , α_y , α_z , che la normale n al piano stesso forma uscendo dal punto P, orientata verso l’esterno con gli assi coordinati X, Y, Z . Supponiamo adesso che sulla faccia ABC agisca una certa tensione ρ che non conosciamo, rappresentata in generale con un vettore che rispetto a questa faccia avrà una certa inclinazione. Di questo vettore quindi non conosciamo né il modulo, né la direzione, però sappiamo che nel complesso tutte le forze elementari agenti sulle quattro facce dell’elementino considerato devono costituire un sistema in equilibrio.

Considerando le tre componenti ρ_x , ρ_{y ,}  ρ_z  di questa tensione ρ che agisce sulla faccia ABC; Indichiamo con dA_x l’area della faccia PBC (cioè la proiezione di dA sul piano YZ) e con dA_z l’area della faccia APB, (cioè la proiezione di dA sul piano XY ). Si noti inoltre che l’angolo formato dal piano PBC e dal piano ABC è uguale al coseno direttore α_x , cioè l’angolo che la normale n forma con l’asse X quindi si possono scrivere le seguenti relazioni che legano l’area della giacitura generica di frontiera con le rispettive aree di proiezione di questa sugli assi coordinati:

quindi a questo punto si conoscono tutti gli elementi per potere imporre le condizioni di equilibrio alla traslazione secondo i tre assi coordinati X, Y, Z, dell’elementino tetraedro.

Equilibrio alla traslazione secondo l’asse X

Impostiamo quindi con riferimento alla figura successiva l’equazione di equilibrio alla traslazione rispetto all’asse X

sostituendo alle rispettive aree infinitesime il loro corrispondente valore precedentemente trovato in funzione dei coseni direttori  si ottiene:

dividendo primo e secondo membro per dA si trova:

Equilibrio alla traslazione secondo l’asse Y

Si procede come si è fatto nel caso precedente per cui:

dividendo primo e secondo membro per dA si trova:

Equilibrio alla traslazione secondo l’asse Z

dividendo primo e secondo membro per dA si trova:

Si sono cosi ottenute le componenti ρ_x , ρ_y , ρ_z , della tensione ρ che agisce sul piano ABC. Riepilogando:

Queste equazioni esprimono le condizioni di equilibrio al contorno, cioè l’equilibrio tra le tensioni interne e le tensioni che agiscono sulla superficie. Le tre equazioni scritte in forma matriciale diventano:

2.2   ANALISI DELLA TENSIONE INTORNO AD UN PUNTO

Ci poniamo adesso il problema di determinare quale è la tensione ρ, tramite le sue componenti ρ_x , ρ_y , ρ_z , su una faccia generica, al variare dei coseni direttori, cioè al variare della sua giacitura tra le infinite passanti per il punto di tensione P. In generale la tensione ρ rappresenta un vettore agente su una faccia generica comunque inclinata, rispetto alla normale al piano, di una certa quantità, deducibile una volta conosciute le tre componenti ρ_x , ρ_y , ρ_z . In questo caso, però, ci limitiamo, in via di semplificazione, a mostrare che esistono tre piani tra loro ortogonali, relativamente a ciascuno dei quali la tensione ρ è normale alla superficie, e quindi le componenti tangenziali τ sono nulle.

Indichiamo con α_x , α_y , α_z , i coseni direttori incogniti della normale di uno dei piani; quindi le componenti del vettore ρ saranno:

Se si considerano le equazioni prima trovate di equilibrio al contorno ovvero alla traslazione secondo le direzioni degli assi coordinati che come sappiamo già sono:

sostituendo i valori delle componenti della tensione ρ, e portando tutto al primo membro

Si è ottenuto un sistema di equazioni lineari e omogenee (ossia con i termini noti nulli) nelle incognite α_x , α_y , α_z . Naturalmente di questo sistema di equazioni si cercano soluzioni non banali, in quanto la soluzione α_x = α_y = α_z = 0 non è accettabile. Infatti tenendo conto della relazione seguente:

risulta chiaro che non ha senso parlare di una retta i cui coseni direttori sono nulli. Quindi la condizione affinché questo sistema di equazioni ammetta soluzione diversa da quella banale è che si annulla il determinante dei coefficienti:

questa è la matrice associata al sistema di equazioni ed è una matrice simmetrica. Sviluppando il determinante e ponendolo uguale a zero si trova una equazione di terzo grado nell’incognita ρ le cui radici sono tutte e tre reali, ovvero:

supponiamo di avere già la giacitura cercata e quindi la tensione ρ coincide con la normale n ovvero:

si ha quindi

Pertanto sostituendo ρ con |σ| alla equazione di terzo grado si ha:

questa equazione viene chiamata equazione secolare di Laplace [7]; dove le J si chiamano invarianti:

J₁ invariante lineare ed è dato dalla somma degli elementi della diagonale;

J₂ invariante quadratico ed è dato dalla somma dei tre minori di ordine due;

J₃ invariante cubico è uguale al determinante della matrice tensore degli sforzi.

dimostriamo quindi che lo sviluppo della matrice associata al sistema di equazione di equilibrio al contorno da luogo ad una equazione di terzo grado nell’incognita ρ.

DIMOSTRAZIONE: Sviluppiamo il determinante della matrice associata secondo il metodo di Laplace.

se indichiamo con T la matrice di partenza, e sia data la seguente relazione

dove:

continuando a sviluppare separatamente le due matrici T₁ e T₂ cosi ottenute, iniziando dapprima con lo sviluppo T₁ si ha:

per T₁₁ scriviamo

e per T₁₂ scriviamo

in definitiva per T₁ otteniamo:

Sviluppiamo adesso T₂

per T₂₁ scriviamo:

e per T₂₂ scriviamo

in definitiva per T₂ si ha:

Sostituiamo i valori trovati di T₁ e T₂ nella relazione di partenza (T = T₁ – T₂ = 0) e troviamo:

ordinando le potenze decrescenti di σ si ha:

Cambiando di segno e sostituendo si ha l’equazione secolare di Laplace cercata:

I coefficienti J₁ , J₂ , J₃ , si chiamano invarianti perché non dipendono dal sistema di riferimento. Se per esempio consideriamo il sistema di riferimento X, Y, Z, abbiamo un certo tensore degli sforzi, se cambiamo riferimento  X¹, Y¹, Z¹, chiaramente il tensore degli sforzi associato al nuovo riferimento cambia. Lo stato tensionale del punto P rispetto al sistema di riferimento X, Y, Z, è dato dai vettori σ₁ , σ₂ , σ₃ , è chiaro che l’esistenza di questi tre vettori è legato allo stato tensionale in quel punto, cioè se esiste un certo stato tensionale esistono necessariamente i tre tensioni principali che sono date dalle radici dell’equazione secolare.

Se infatti cambiamo riferimento non ha senso pensare che le tensioni cambiano. Quindi se si cambia riferimento il tensore degli sforzi cambia ma se scrivo l’equazione secolare troverò sempre le stesse soluzioni di prima. L’equazione secolare quindi ammette sempre tre radici reali. Per convenzione delle tre componenti tensoriali si indica con σ₁ la più grande con σ₂ la intermedia e con σ₃ la più piccola. 

la posizione angolare di queste tre tensioni è tale che sono a due a due ortogonali.

DIMOSTRAZIONE: Se indichiamo con σ_i una delle tre tensioni, e σ_j una delle altre due (con i e j variabili da 1 a 3) si vuole dimostrare che l’angolo formato da σ_i e σ_j è 90°. Indicando con α_ix , α_iy , α_iz , i coseni direttori di σ_i e analogamente per σ_j indichiamo con α_jx , α_jy , α_jz , i coseni direttori di σ_j.

La relazione che deve esistere tra due rette perpendicolari è che il prodotto scalare dei coseni direttori sia nullo. Si scrivono i vettori colonna α_i e α_j:

introduciamo il concetto in forma matriciale. Si scrive il prodotto scalare nel seguente modo

Indichiamo con [A] il tensore degli sforzi e quindi le condizioni iniziali che abbiamo imposto sono di questo tipo:

che nel caso della σ_i e della σ_j si può scrivere rispettivamente:

dimostreremo che la ragione per cui σ_i e σ_j sono ortogonali è data dalla fatto che la matrice tensore degli sforzi è una matrice simmetrica. Prendiamo quindi in considerazione la somma dei prodotti delle componenti che abbiamo visto prima e la moltiplichiamo per σ_i

quindi

sostituendo

siccome in generale si ha

per cui segue ancora che:

se σ_i ≠ σ_j deve essere necessariamente:

questo prodotto impone la ortogonalità tra le due σ_i e σ_j , che è quello che si voleva dimostrare.

Facciamo una semplice considerazione: cosa succede se σ_i = σ_j ? Supponiamo che nel piano σ_i ≠ σ_j allora si ha la condizione di ortogonalità ( vedi grafico)

Se σ_i = σ_j segue che il prodotto scalare non sarà nullo e può assume qualsiasi valore (vedi grafico). Il  fatto che σ_i = σ_j significa che una volta fissata σ_i , la σ_j è uguale qualunque sia la direzione.

Il diagramma polare delle σ nel piano è una circonferenza. Questo vuol dire che nel punto P qualunque delle σ  uscenti è una σ  principale. In questo caso cade il concetto di ortogonalità, nel senso che qualsiasi dei piani passanti per P, è ortogonale al piano (foglio) ed è piano principale.

Tutti i piani ortogonali al piano definito da σ_i e σ_j sono piani principali.

In precedenza si è detto che l’equazione secolare o di Laplace deve ammettere sempre 3 radici reali quindi adesso dimostriamo anche tale assunto.

DIMOSTRAZIONE:

Si è visto che l’equazione secolare è uguale a:

supponiamo per assurdo che questa equazione possa ammettere come soluzioni una radice reale e due complesse coniugate; siano, σ_i del tipo (a + iּb) e per σ_j del tipo (a – iּb), soluzioni dell’equazione secolare.

Sostituiamo quindi la prima soluzione al sistema di equazioni al contorno. Se σ_i è una soluzione del sistema deve annullare il determinante della matrice associata. Supponiamo che dopo aver sostituito la soluzione, di trovare le seguenti componenti dei coseni direttori α: I coseni direttori evidentemente assumeranno quindi la seguente forma

supponiamo ora di sostituire anche la σ_j e di trovare la soluzione coniugata a quella di prima.

Precedentemente si è dimostrato, introducendo i vettori colonna α_i e α_j

che la somma dei prodotti delle componenti deve essere uguale a zero

ovvero in forma matriciale

quindi sostituiamo a questo prodotto i valori ipotizzati dei coseni direttori trovati avremmo:

dopo facili passaggi si ottiene l’equazione seguente

questo risultato è assurdo perché questa equazione non può mai essere uguale a zero, quindi l’equazione secolare ha sempre soluzioni delle radici reali.

3.2   GLI STATI DI TENSIONE

Facciamo un breve riepilogo e riscriviamo in forma matriciale le equazioni trovate in precedenza che esprimono l’equilibrio al contorno.

Quindi supponiamo di conoscere le sei componenti speciali di tensione che agiscono sulle facce dei piani coordinati, ci chiediamo se possiamo determinare il vettore ρ che agisce sulla faccia ABC la cui giacitura è definita dai coseni direttori α_x , α_y , α_z . Abbiamo visto già che determinare il vettore ρ è possibile imponendo l’equilibrio alla traslazione nelle tre direzioni ortogonali X, Y, Z.

Dire di conoscere le sei componenti speciali di tensione è la stessa cosa di dire di conoscere il tensore degli sforzi. Vediamo adesso di approfondire questo aspetto in rapporto alle caratteristiche della matrice tensore degli sforzi. La matrice tensore degli sforzi è una matrice 3×3 quindi si possono verificare tre casi diversi: rango = 3, rango = 2, rango = 1. A secondo del caso lo stato tensionale nell’intorno del punto considerato acquista una certa fisionomia. Analizziamo i tre casi separatamente:

1) rango = 3; Det  ≠ 0 ; “STATO TRIASSIALE”.

Scriviamo l’equazione secolare

in questo caso se il termine noto J₃≠ 0 l’equazione secolare ammette tre radici reali 8. Indicando con {ρ}  il vettore colonna delle componenti di ρ, con  [T] la matrice del tensore degli sforzi e con {α} il vettore colonna dei coseni direttori, possiamo scrivere le equazioni che esprimono l’equilibrio al contorno in forma più compatta

notiamo subito che la matrice [T] è invertibile perché ha il Det ≠ 0 ed è quadrata, dunque esiste [T]^-1. Quindi moltiplicando a sinistra si ha:

naturalmente ripetiamo che questa operazione si può fare perché la [T] è invertibile. Questa equazione ci dice che comunque si fissi un vettore ρ eseguendo il prodotto al secondo membro si risale a una giacitura. Questo stato viene definito come stato triassiale e significa che esiste una corrispondenza biunivoca tra la stella delle giaciture e la stella delle direzioni del vettore ρ. 

2) rango = 2; Det = 0 ; “STATO BIASSIALE”.

Scriviamo nuovamente l’equazione secolare

in questo caso J₃ = 0 e quindi l’equazione secolare si può scrivere:

per cui evidentemente una radice è uguale a zero σ = 0, e quindi rimane:

Indicando con ρ_x , ρ_y , ρ_z , le componenti di ρ sugli assi X, Y, Z, se il rango del tensore degli sforzi è due una componente è combinazione lineare delle altre due. Scriviamo il vettore ρ in forma cartesiana:

Inoltre se il rango del tensore degli sforzi è due deve esistere un minore complementare diverso da zero di ordine due, supponiamo che questo sia contenuto nelle prime due righe del tensore degli sforzi.

Questo assunto non è restrittivo perché si può supporre di aver ordinato le righe affinché questo avvenga. In queste condizioni possiamo dire che la 3^a riga è combinazione lineare delle prime due, quindi possiamo scrivere:

dove λ₁ e λ₂ sono dei coefficienti secondo i quali la 3^a riga è combinazione lineare delle prime due; nell’equazione scritta in forma cartesiana possiamo introdurre ρ_z in funzione di ρ_x  e  ρ_y :

mettendo in evidenza ρ_x  e ρ_y

se si pone:

ed

ed infine sostituendo si ricava:

questo è un vettore combinazione lineare di altri due vettori, il vettore appartiene quindi al piano definito dai due. In definitiva abbiamo dimostrato che nel caso in cui la matrice [T] ha rango due il vettore ρ appartiene ad un piano. A differenza del caso precedente esiste una corrispondenza univoca tra la stella delle giaciture e il fascio di rette passanti per ρ. Prima di passare al terzo caso facciamo un esempio numerico di stato biassiale. Sia data la matrice del tensore degli sforzi

il determinante è uguale a zero. Il minore formato dalle prime due righe e dalle prime due colonne è diverso da zero quindi le prime due righe sono linearmente indipendenti. La terza riga quindi è combinazione lineare delle prime due righe.

Allora possiamo scrivere:

risolvendo si ha: 

scriviamo in forma letterale l’equazione:

sostituendo i valori di λ₁ e λ₂ si ha:

scriviamo ora il vettore ρ in forma cartesiana e sostituiamo:

e quindi:

indichiamo con

e con

vediamo adesso di rappresentare graficamente questi due vettori u e v

il vettore ρ è esprimibile come combinazione lineare di u e v dato che appartiene al piano individuato da u e v.

L’equazione di questo piano individuato da u e v è evidentemente

quindi in definitiva se ρ appartiene al piano definito da u e v la tensione in questo piano deve essere nulla perché questo è un piano principale.

3)    rango = 1 ;   Det = 0 ;   “STATO MONOASSIALE”.

Riscriviamo il tensore degli sforzi

supponiamo che la prima riga sia linearmente indipendente e quindi la 2^a riga e la 3^a riga siano combinazione lineare della prima riga ovvero si scrive

e

scriviamo ρ cosi come si è fatto prima in forma cartesiana:

e mettendo in evidenza ρ_x

il valore tra parentesi è un vettore e lo poniamo uguale ad u quindi scriviamo:

rappresentiamo graficamente il vettore u:

In definitiva se il rango della matrice del tensore degli sforzi è uguale ad uno, c’è una corrispondenza univoca tra la stella delle giaciture e una direzione di ρ. Questo stato si chiama monoassiale.

Analizziamo anche per il caso monoassiale l’equazione secolare: Det [T]= 0  per cui si ha  J₃ = 0  e  J₂ = 0  quindi l’equazione secolare

diventa

si ha evidentemente una sola soluzione che caratterizza lo stato monoassiale, per cui esistono due soluzioni uguali a zero e una uguale a J₁. Facciamo un esempio numerico. Sia data la matrice del tensore degli sforzi:

il determinante è uguale a zero. Il minore è rappresentato dall’elemento di una riga della matrice δ·[T]= 1; la prima riga è linearmente indipendente dalla seconda e dalla terza per cui scriviamo

segue

  scriviamo ρ in forma cartesiana e sostituiamo i valori trovati:

mettendo in evidenza ρ_x si ottiene:

se poniamo

otteniamo

la rappresentazione grafica del vettore u è del tipo in figura:

L’equazione della retta che definisce la direzione principale è:

4.2   LO STATO DI TENSIONE BIASSIALE PIANO

Vediamo ora di studiare più in dettaglio questo stato di tensione nel piano X,Y. Consideriamo quindi il piano definito dai vettori u e v, il vettore ρ tensione nel caso dello stato biassiale deve appartenere a questo piano. Ciò significa pure che nel piano definito da u e v la tensione è nulla.

Ipotizziamo di avere un elementino superficiale di lati infinitesimi che abbia spessore unitario; una tale situazione si può schematizzare come indicato nella figura successiva. Vogliamo vedere come varia il vettore tensione ρ al variare della giacitura, evidentemente, supponendo di conoscere già le componenti speciali di tensione diverse da zero che nel caso piano sono σ_x ; σ_y ; τ_xy ; τ_yx .

Questo è possibile verificarlo imponendo le due condizioni di equilibrio alla traslazione rispettivamente secondo gli assi X e Y. Prima però di imporre tali condizioni di equilibrio bisogna necessariamente passare dalle componenti di tensione alle forze, esprimere cioè le tensioni in termini di forze applicate su di una superficie, moltiplicando le tensioni per le rispettive aree (vedi figura successiva).

Dal punto di vista matematico è più semplice imporre l’equilibrio non secondo gli assi X ed Y ma secondo le componenti σ e τ. Se proiettiamo le componenti speciali di tensione sulla normale n e da queste imponiamo dapprima l’equilibrio secondo la direzione alla normale n stessa, coincidente evidentemente alla direzione di σ, otteniamo la relazione seguente:

ponendo

e sostituendo si ha:

eliminiamo il termine comune dl otteniamo:

imponiamo quindi l’equilibrio secondo la direzione AB coincidente con la direzione di τ.

sostituiamo i valori posti in precedenza di dx e dy

eliminiamo anche qui il termine comune dl e moltiplicando per –1 ambo i membri:

quindi dopo brevi passaggi otteniamo :

Nella condizione di equilibrio per esattezza bisognerebbe considerare anche il peso proprio dell’elementino, però, come abbiamo visto quando si è esaminata la condizione generale di equilibrio nello spazio, questo peso è un infinitesimo di ordine superiore quindi trascurabile. A questo punto conviene esprimere le condizioni di equilibrio trovate in funzione dell’angolo doppio 2φ. Questa operazione la si può fare considerando le note formule trigonometriche della duplicazione degli angoli:

questa ultima relazione trigonometrica per poterla utilizzare nel nostro caso specifico la dobbiamo esprimere in funzione di cos²φ e di sen²φ. Partendo dalla semplice considerazione che essendo:

quindi se esprimiamo la formula trigonometrica in funzione di cos²φ, per sostituendo otteniamo:

esprimendo la formula in funzione sen²φ si ottiene:

se ora sostituiamo queste formule trigonometriche nelle espressioni che esprimono le condizioni di equilibrio

per la tensione normale σ otteniamo:

e per la tensione tangenziale τ otteniamo:

ed ancora dopo semplici passaggi troviamo rispettivamente per σ e τ le seguenti espressioni seguenti:

Adesso approfondiamo ulteriormente lo studio di queste due espressioni trovate. L’obbiettivo, ricordiamo, è quello di determinare il vettore tensione ρ al variare della giacitura. Vediamo quindi di trovare quei particolari valori di φ per cui la tensione σ assume valore di massimo e di minimo. Per rispondere a questo interrogativo basta semplicemente derivare l’equazione di σ  precedentemente trovata in funzione dell’angolo φ ed uguagliarla a zero:

riscriviamo l’equazione di σ

deriviamo in funzione di dφ

mettendo in evidenza il due si ha:

notiamo subito che il termine tra parentesi è uguale τ per cui sostituendo:

se dividiamo ora la derivata per il cos2φ e la uguagliamo a zero:

otteniamo

in definitiva possiamo scrivere la seguente relazione:

a questo punto l’angolo 2φ è conosciuto perché le componenti speciali di tensione sono conosciute, infatti e come se avessimo ottenuto tag2φ = K. Riportiamo graficamente il valore della tag2φ sulla circonferenza trigonometrica, notiamo subito che gli angoli per cui la relazione è soddisfatta sono due, uno è l’angolo α₁ = 2φ e l’altro è l’angolo α₂ = 2φ + π; quindi passando all’angolo φ si ha:

In questo modo siamo giunti ad ottenere il risultato che esistono due direzioni tra loro ortogonali (poiché differiscono dell’angolo π) per le quali si ha per una direzione la tensione σ_max e per l’altra la tensione σ_min. Inoltre sia nella prima direzione che nella seconda la tensione tangenziale τ è nulla τ = 0, esistono cioè solo tensioni normali, l’una massima e l’altra minima. Per queste giaciture le corrispondenti tensioni normali σ sono chiamate tensioni principali.

Vediamo adesso di trovare l’angolo φ per il quale si ha la tensione tangenziale τ_max e la tensione tangenziale τ_min. Derivando anche in questo caso l’espressione della τ

in funzione di dφ si ha:

e a seguire

quindi troviamo nel caso delle τ che per questo valore di φ la tensione σ non è nulla ma è uguale alla tensione σ media. Dividendo la derivata per il cos2φ

si ottiene in definitiva:

Anche per le τ siamo giunti al risultato che per questi valori di φ la tensione tangenziale τ è massima e minima, mentre la tensione σ è media. In questo caso queste giaciture sono dette di massimo scorrimento. Dato che per il caso delle σ e per il caso delle τ abbiamo trovato rispettivamente (gli indici 1 e 2 sono riferiti rispettivamente a σ e τ):

Moltiplicando tra di loro le due tangenti si ha:

Quindi, poiché il prodotto delle due tangenti è uguale a –1, le due direzioni sono tra loro ortogonali e gli angoli a metà individuano direzioni a 45°.

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[7] Laplace Pietro Simone

8 il termine noto J₃ ≠ 0 rappresenta la matrice del tensore degli sforzi quindi J₃ = Det [T ]