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Nozioni sulle forze

Già nei primi capitoli sulla Statica e sulla Resistenza dei materiali abbiamo visto il concetto di forza e come tale grandezza fisica intervenga nel calcolo delle strutture. Abbiamo anche visto la rappresentazione grafica delle forze mediante segmenti con estremità a freccia, per indicare la direzione secondo la quale le forze stesse agiscono. Per definire completamente una forza non basta però indicarne la direzione, ma occorre conoscerne anche la grandezza e il punto di applicazione. A proposito dei momenti flettenti abbiamo avuto occasione di vedere come la grandezza dei momenti flettenti dipenda dalle grandezze delle forze cui sono dovuti e dalla posizione dei punti in cui le forze stesse sono applicate. Riassumendo possiamo quindi dire:

Ogni forza è caratterizzata da tre elementi: la grandezza, la direzione e il punto di applicazione.

Come già abbiamo visto, la grandezza di una forza viene espressa in unità di peso, e per lo più in kg o in tonn. La direzione, secondo cui una forza agisce, è indicata da una retta che necessariamente passa per il punto di applicazione. Questa retta viene detta semplicemente “linea di azione” della forza. In precedenza abbiamo parlato di rette considerate come linee di azione di forze, per spiegare il modo con cui agiscono gli sforzi di taglio. Anche a proposito delle forze di trazione o di compressione abbiamo tracciato delle rette intese come linee di azione di forze. Poiché tali corpi vengono sollecitati nella direzione dei loro assi longitudinali, le linee di azione delle forze coincidono con gli assi di mezzeria longitudinali, segnati con linee a tratti e punti. Tornando ad osservare gli esempi svolti si potrebbe rilevare anche questa altra circostanza: sebbene, a proposito si sia sempre parlato solo di una forza P, nelle figure invece sono sempre indicate due forze P. Queste forze sono sempre di uguale grandezza e giacciono sempre sulla stessa linea di azione, ma sono dirette in senso contrario. Quale è il significato di tutto ciò?

Se in ognuno dei casi considerati si avesse solo una forza, il corpo a cui la forza è applicata si muoverebbe nella direzione della forza stessa. Perché questo non accada, cioè perché il corpo rimanga in equilibrio, bisogna che una forza di uguale grandezza agisca in senso opposto. Queste due forze si annullano a vicenda, e l’effetto risultante della loro azione comune è che il corpo rimane in quiete, o, come si dice, in equilibrio. Diremo dunque:

In un corpo in equilibrio ad una forza corrisponde una forza uguale e contraria, oppure, come si dice, ad una azione corrisponde una reazione uguale e contraria.

Una forza che agisce sopra un corpo può produrre due diverse conseguenze: essa può imprimere al corpo un movimento, se esso è libero di muoversi o solo leggermente ostacolato, cioè se la forza contraria è relativamente piccola. Se però il corpo è impedito nei suoi movimenti da altri corpi o da una forza contraria, se cioè esso è inamovibile, la forza che agisce su di esso genera delle sollecitazioni interne nel corpo stesso. Tutte le forze P, cioè i carichi e le forze contrarie o reazioni vengono perciò dette “forze esterne”, mentre le sollecitazioni generate da tali corpi vengono dette forze interne. Quindi affinché un elemento di una struttura non venga strappato o schiacciato, esso deve essere sufficientemente resistente alla trazione e, rispettivamente, alla compressione, cioè le sollecitazioni generate nell’elemento della struttura non debbono superare la resistenza del materiale con cui esso è costruito. Come abbiamo già detto in precedenza, delle sollecitazioni negli elementi di strutture ci si occupa nella resistenza dei materiali, mentre della determinazione delle forze esterne ci si occupa nella statica.

La risoluzione dei problemi statici

I problemi statici possono essere risolti graficamente o mediante il calcolo (analiticamente). La parte della statica che insegna a risolvere graficamente i problemi è detta “Statico grafica” (dal greco “graphein” = scrivere, disegnare). Il vantaggio della statica grafica consiste nella grande evidenza dei suoi procedimenti e quindi nella possibilità di un facile controllo delle soluzioni. Poiché però i disegni debbono essere eseguiti in una determinata scala, i risultati saranno necessariamente solo approssimati. Caso per caso si sceglierà quindi una scala del disegno per la quale la precisione dei risultati potrà essere considerata sufficiente per lo scopo pratico che si persegue. Con i procedimenti della statica analitica si può ottenere nei risultati qualsiasi grado di precisione; quando però i calcoli riescono molto complessi e lunghi, i procedimenti risultano poco evidenti. Di regola i tecnici calcolisti ricorrono contemporaneamente ad entrambi i metodi, raggiungendo cosi i due scopi, di potere cioè seguire e controllare lo svolgimento dei procedimenti e di ottenere la precisione desiderata nei risultati.

Abbiamo già avuto occasione di risolvere, fino ad ora, tutta una serie di problemi statici. Col metodo grafico abbiamo però determinato solo i momenti flettenti, mentre tutti gli altri risultati sono stati ottenuti mediante il calcolo ossia, come si dice, analiticamente. Ora ci occupiamo in particolare dei metodi grafici.

La rappresentazione grafica delle forze

Nei problemi statici finora trattati è stato sufficiente rappresentare le forze con un breve segmento terminante con una freccia ad una estremità, indicando la grandezza a della forza in kg o tonn. I problemi di cui tratteremo qui di seguito richiedono però una rappresentazione delle forze più precisa. Nella statica grafica le forze vengono rappresentate con segmenti di lunghezza corrispondente alla grandezza della forza rappresentata, secondo una determinata scala; tutti i dati necessari per definire una forza si possono quindi rilevare dal disegno. Nella fig. (*) abbiamo rappresentata una singola forza. Da tale disegno possiamo rilevare tutti e tre gli elementi che definiscono, ossia individuano la forza:

1) La grandezza o intensità della forza. Misurando la lunghezza del segmento, possiamo constatare che esso è di 3 cm. Sul disegno vi è anche l’indicazione “Scala delle forze 1 cm = 10 kg”. Un segmento lungo 3 cm rappresenta quindi una forza di 10 kg. La forza rappresentata nella fig. (*) ha perciò una grandezza o intensità di 30 kg.

2) La direzione della forza. Essa è inclinata verso destra e verso l’alto, come risulta dalla freccia di estremità. In modo da formare con la direzione orizzontale un angolo di 30°. La direzione della forza ci indica dunque anche la sua linea di azione, sulla quale possiamo immaginare la forza spostata in qualsiasi posizione ed agente in uno qualsiasi dei due sensi.

3) Il punto di applicazione della forza. Nel disegno esso è indicato con O.

Con tali elementi la forza è univocamente determinata.

La composizione di due forze.

“Comporre due forze” significa cercare l’unica forza che produce lo stesso effetto dato dalle due forze, quando agiscono contemporaneamente. Chiariamo adesso I’operazione della composizione di forze con alcuni esempi, cominciando dal caso più semplice:

1) Le due forze si trovano sulla stessa linea di azione

Due forze P₁= 30 kg e P₂= 40 kg esercitano una trazione del punto O di un corpo, rappresentato nella fig. (*) con un rettangolo tratteggiato; lo sforzo di trazione è esercitato in direzione orizzontale verso destra. Quale è la forza R, con la quale possiamo sostituire le due forze P₁ e P₂ per ottenere lo stesso effetto?

Nella fig. (*) abbiamo disegnato le due forze vicinissime l’una accanto all’altra; ciò ha solo lo scopo di indicare chiaramente che si tratta di due forze applicate entrambe nel punto O; a rigore, esse andrebbero disegnate sovrapposte, perché infatti esse agiscono sulla stessa linea di azione. Le due forze P₁ e P₂ sono entrambe dirette verso destra, cioè nello stesso senso. È chiaro che i loro effetti si sommano. Otterremo perciò lo stesso effetto, se applicheremo nel punto O una unica forza R agente sulla stessa linea di azione delle due singole forze, e di grandezza esattamente uguale alla somma delle grandezze delle due forze P₁ e P₂; si deve cioè avere:

La forza R sostituisce dunque le due forze P₁ e P₂ ed è detta “forza risultante”.

Quale sarà la risoluzione grafica di questo esempio?

Il procedimento da seguire è quello illustrato nella fig. (*). Come scala delle forze fissiamo, ad esempio, 1 cm = 20 kg. Il segmento che rappresenta la forza P₁, avrà perciò la lunghezza di 1,5 cm, e quello che rappresenta la forza P₂ la lunghezza di 2 cm. Disponiamo ora questi due segmenti, corrispondenti alle due forze, uno di seguito all’altro su una stessa retta; la somma di tali segmenti rappresenta la forza risultante R. Questa risultante giace dunque sulla stessa linea di azione delle forze P₁ e P₂ ed ha la loro stessa direzione. Per rendere però evidenti la grandezza e la direzione della risultante, essa è stata rappresentata con un segmento a tratti e punti, di fianco alle due forze P₁ e P₂. Misurando la lunghezza di questo segmento a tratti e punti si trova che la sua lunghezza è di 3,5 cm; la forza da esso rappresentata, cioè la risultante cercata, ha quindi la grandezza .

L’esempio avrebbe potuto essere rappresentato graficamente anche come è indicato nella fig. (*) in basso. In tale figura una delle due forze (P₁) è stata spostata sul lato sinistro del corpo. Con ciò, però il problema non viene variato, poiché, la forza spostata agisce sempre sulla stessa retta. Le due forze rappresentate nella fig. (*) tendono infatti a fare muovere il corpo nello stesso senso verso destra e con la stessa forza complessiva, come nel caso rappresentato nella figura in mezzo. Da ciò deriva la seguente regola:

Le forze possono essere spostate a piacere sulla loro linea di azione, senza che si verifichi con ciò alcuna variazione dell’effetto ad esse dovuto.

Un esempio pratico dell’effetto di una singola forza è a tutti ben noto; esso è quello di un treno ferroviario. La locomotiva genera una forza, la quale è applicata al gancio di trazione ed agisce in direzione del binario. L’asse del binario è quindi la linea di azione della forza generata dalla locomotiva. Anche per l’azione contemporanea di due forze ugualmente dirette possiamo citare un esempio analogo. Quando il carico di un treno è troppo pesante per una sola locomotiva, ne viene aggiunta una seconda, e precisamente davanti o dietro al treno; l’effetto è, in entrambi i casi, lo stesso; le due forze generate dalle due locomotive si sommano. Da tale esempio si vede che l’effetto di una forza rimane sempre lo stesso, qualunque sia il suo punto di applicazione su una stessa linea di azione.

Vediamo adesso il caso in cui al corpo sono applicate le due forze P₁= 30 kg e P₂= 40 kg; esse agiscono sulla stessa retta, ma il senso della forza P₁ è contrario a quello della forza P₂ fig. (*). Quale è la grandezza della risultante delle due forze ed in quale senso agisce?

Gli effetti delle due forze si annullano in parte, poiché esse agiscono in senso contrario; si comprende facilmente che, poiché la forza diretta verso destra è maggiore di quella diretta verso sinistra, la risultante sarà una forza diretta, verso destra, di grandezza .

Per risolvere graficamente l’esempio procediamo come segue: portiamo sulla linea di azione delle due forze, uno dopo l’altro, i due segmenti che le rappresentano, e precisamente riportiamo anzitutto, a partire dal punto O, la forza P₁= 30 kg, diretta verso sinistra. Il segmento OA della fig. (*) è lungo (in base alla scala delle forze 1 cm = 20 kg), 1,5 cm. A partire da A portiamo quindi la forza P₂= 40 kg diretta verso destra (40 kg = 2 cm). Il segmento AC è quindi lungo 2 cm. Il segmento che ha per origine il punto O e per estremità il punto estremo del segmento che rappresenta la forza P₂, cioè il segmento OC, ha la lunghezza di 0,5 cm. La forza risultante R è quindi di 10 kg , ed è diretta verso destra.

Se in questo esempio le due forze di senso contrario avessero la stessa grandezza, i loro effetti si annullerebbero a vicenda completamente. Le due forze sarebbero in equilibrio, poiché la loro risultante sarebbe evidentemente uguale a zero fig. (*). Questo caso è già noto, perché è stato trattato in precedenti esempi svolti sulla statica.

2) Le due forze non si trovano sulla stessa linea di azione

Nella fig. (*) sono rappresentate due forze P₁ e P₂, applicate entrambe ad uno stesso punto O di un corpo. Le loro direzioni sono fra loro perpendicolari. In quale modo si potrà trovare quella forza che può sostituire entrambe le forze P₁ e P₂? In altre parole, in quale modo si determina la forza risultante R, la quale da sola produce lo stesso effetto delle due forze P₁ e P₂ agenti contemporaneamente?

Per risolvere questo problema disegniamo anzitutto le due forze, come è rappresentato nella fig. (*). Da ognuno dei due punti di estremità A e B dei segmenti che rappresentano le forze, conduciamo una parallela (linee a tratto sottile) al segmento che rappresenta l’altra forza, ottenendo in tal modo un rettangolo. Congiungiamo il punto di intersezione C delle due parallele con il punto O di applicazione (linea a tratti e punti). Un tale segmento, congiungente due vertici opposti di un rettangolo viene detto, come è noto, “diagonale”.

Questa diagonale rappresenta in grandezza e direzione la forza risultante R cercata. Le due forze da comporre (P₁ e P₂) vengono dette “forze componenti”, o semplicemente “componenti”.

Facciamo adesso un primo esempio numerico. Due forze P₁ e P₂ ciascuna di 300 kg agiscono, secondo due direzioni perpendicolari tra di loro, su uno stesso corpo. Si determinino graficamente la grandezza della risultante e la sua direzione. Fissiamo come scala delle forze 1 cm = 100 kg, e disegniamo, a partire da un punto O, due segmenti perpendicolari fra di loro, ciascuno della lunghezza di 3 cm, rappresentanti le due forze P₁ e P₂ fig. (*). Dal punto A, estremo del segmento rappresentante la forza P₁, conduciamo una parallela a P₂ e dal punto B, estremo del segmento rappresentante la forza P₂ una parallela alla forza P₁. Naturalmente, vi sono diversi modi di tracciare la parallela ad una retta. Se non si hanno a disposizione una riga ed una squadra, si può procedere nel seguente modo:

Con apertura di compasso uguale al segmento che rappresenta la forza P₂ (3 cm), si centra nel punto A e si traccia un arco di cerchio k₁. Si centra quindi nel punto B e si traccia l’arco di cerchio k₂. Con una apertura di compasso uguale al segmento che rappresenta la grandezza della forza P₁, cioè, in questo caso, ancora di 3 cm. Il punto di intersezione C dei due archi di cerchio è pure il punto di intersezione delle due parallele da disegnare. Il quadrilatero ottenuto O-A-C-B è un quadrato, la cui diagonale OC rappresenta la risultante cercata. Misurando nel disegno si trova che tale diagonale è lunga 4,2 cm; la grandezza della risultante è quindi R= 420 kg.

Possiamo rilevare inoltre che essa agisce su una retta che forma con entrambe le componenti un angolo di 45°.

Facciamo un secondo esempio numerico. Due forze P₁= 30 kg e P₂= 40 kg agiscono su un corpo secondo due direzioni perpendicolari fra di loro. Trovare la loro risultante. Come scala delle forze fissiamo 1 cm = 10 kg e rappresentiamo le due forze in questa scala. Si procede quindi come risulta dalla fig. (*).

In questo caso abbiamo ottenuto un rettangolo, la cui diagonale è lunga esattamente 5 cm. La forza o risultante cercata sarà dunque.

Nella fìg. (*) vi è illustrato un esempio della composizione di due forze perpendicolari fra di loro. Una grande nave deve esse condotta da due rimorchiatori portuali, dalla banchina, nello specchio libero dell’acqua, prima che essa possa essere messa in moto dal proprio impianto di propulsione. Se si impiegasse solo un rimorchiatore la nave verrebbe spinta dal vento o dalle correnti contro i moli del porto. Si impiegano perciò due rimorchiatori, uno dei quali trascina la nave perpendicolarmente al molo. (In realtà, in caso di navi molto grandi si impiegano più di due rimorchiatori). Per effetto degli sforzi di trazione, fra di loro perpendicolari, esercitati dai due rimorchiatori, la nave viene trascinata lungo il percorso risultante, indicato con linea a tratti e punti; la nave si muoverebbe nella stessa direzione se fosse trascinata, non da due rimorchiatori ma da uno solo più potente nella direzione risultante ora indicata.

Nel modo ora descritto, possiamo trovare anche la risultante di due forze le cui direzioni non sono perpendicolari fra di loro, ma formano un qualsiasi angolo. Nel caso rappresentato dalla fig. (*), due forze P₁ e P₂, di diversa grandezza e formanti fra loro un angolo α sono applicate ad un punto O. Per trovare la loro risultante condurremo, come al solito, dai punti estremi dei segmenti che le rappresentano, delle parallele di ciascuna delle direzioni delle forze stesse. Si otterrà il romboide O-A-C-B, della fig. (*), la cui diagonale rappresenta appunto la risultante delle due forze date.

In tutti gli esempi svolti finora, la risultante è ottenuta come diagonale di un quadrato, di un rettangolo o di un romboide, a seconda delle grandezze e delle direzioni delle due forze da comporre. Come già sappiamo, questi quadrilateri vengono chiamati tutti “parallelogrammi”, e da ciò deriva la denominazione dell’importante principio della statica detto “principio del parallelogrammo delle forze”:

La risultante di due forze applicate ad un punto è rappresentata dalla diagonale del parallelogrammo, i cui lati rappresentano rispettivamente le due forze date.

Facciamo un esempio pratico. Quale è la grandezza della risultante di due forze P₁= 30 kg e P₂= 40 kg le cui direzioni formano fra loro un angolo di 135° fig. (*) ? Inoltre, quale grandezza e direzione deve avere la forza contraria, o reazione, Rg che fa equilibrio alla risultante R?

La soluzione si trova nello stesso modo con cui si è trovata quella del precedente esempio. Un angolo di 135° può essere disegnato anche senza goniometro, mediante una squadra da disegno. Tale angolo è infatti costituito da un angolo retto e da un angolo di 45°, poiché 90°+45°=135°. Tracciamo quindi, come al solito, le parallele AC e BC, rispettivamente parallele alle direzioni delle forze P₁ e P₂; otterremo il parallelogramma O-A-C-B, la cui diagonale OC rappresenta la risultante R. Misurando tale diagonale OC e tenendo conto della scala delle forze 1 cm = 10 kg, avremo che R= 29 kg circa.

Prolunghiamo ora la linea di azione OC della risultante oltre il punto O e portiamo su di essa, a partire da O, un segmento lungo 2,9 cm. In tale modo abbiamo rappresentato la forza contraria R_g, la quale fa equilibrio alla risultante R, ossia alle due componenti P₁ e P₂. La forza contraria R_g ha naturalmente senso opposto a quello della forza R ed il segmento che la rappresenta porta quindi una freccia rivolta in senso opposto.

Con questi semplici esempi abbiamo quindi visto come si ottiene la risultante di due forze. In seguito vedremo come si compongono forze in numero maggiore di due. A seguire adesso però ci occuperemo di un altro problema, altrettanto importante di quello della composizione delle forze e precisamente del problema della scomposizione di una forza.

Scomposizione di una forza

In pratica accade frequentemente di dovere scomporre una data forza P in due componenti di determinate direzioni. Vediamo anche questo caso con degli esempi pratici:

Fra due muri si debba appendere un carico sospeso a due fili, ad esempio una lampada per illuminazione stradale. Siano date le direzioni che debbono assumere i due fili di sospensione fig. (*) e sia dato pure il peso della lampada P = 30 kg. Quali saranno le forze che sollecitano i due tratti di filo che sostengono la lampada?

Oltre che la grandezza della forza P è nota anche la sua direzione, poiché infatti il carico agisce verticalmente. Conosciamo dunque le tre direzioni delle tre forze e la grandezza di una di esse. La grandezza delle altre due forze, cioè gli sforzi di trazione che sollecitano i fili di sospensione, possono essere facilmente determinate, ricorrendo a ciò che abbiamo nei precedenti esempi svolti fino ad ora. È data una forza, la quale deve fare equilibrio a due forze di cui è nota la direzione. Pensiamo anzitutto a determinare quale è l’unica forza con la quale si può fare equilibrio alla forza P. Essa è, come abbiamo visto negli esempi precedenti, la forza uguale e contraria alla forza data, cioè la forza che agisce sulla stessa retta, e di uguale grandezza in valore assoluto, ma diretta in senso contrario a quello di P. Per rappresentare questa forza, prolunghiamo la retta di azione di P verso l’alto, oltre il punto O e riportiamo su di essa, a partire da O, il segmento O-C = P fig. (*). Questa forza uguale e contraria a P possiamo considerarla come la risultante delle due singole forze cercate; per tale ragione viene indicata con R. Dovremo quindi costruire un parallelogrammo delle forze, nel quale R sia la risultante, cioè la diagonale, ed in cui le due componenti agiscano nelle direzioni d₁ e d₂; conduciamo per il punto C le parallele a d₁ ed a d₂, ottenendo i punti A e B di intersezione con le direzioni date: Le componenti rappresentate dai segmenti O-A ed O-B, che sono state indicate rispettivamente con P₁ e P₂, possono dunque essere sostituite dalla forza R.

Poiché però R è una forza uguale e contraria a P, cioè una forza che fa equilibrio alla forza P stessa, anche le due forze P₁ e P₂ debbono naturalmente equilibrare la forza P. Le due forze P₁ e P₂, sono dunque le due forze di trazione cercate, che sollecitano i fili di sospensione della lampada. Per la rappresentazione grafica della forza P si è stabilita la scala 1 mm = 1 kg. Dal disegno rileviamo che P₁ = 35 mm e P₂ = 40 mm; sarà dunque in realtà  P₁ = 35 kg e P₂ = 40 kg.

Si nota che ognuna delle due componenti è maggiore della singola forza data, cioè del carico costituito dalla lampada. Ciò dipende dal fatto che i due fili di sospensione sono tesi secondo direzioni poco inclinate sull’orizzontale. Tanto maggiore è l’angolo formato dalle direzioni delle due componenti (angolo indicato con α nella figura), tanto maggiori sono gli sforzi di trazione nei fili di sospensione; tanto più inclinati sono invece i fili di sospensione rispetto all’orizzontale, cioè tanto più piccolo è l’angolo fra essi compreso, tanto minori saranno gli sforzi di trazione nei fili di sospensione o tiranti. Lo sforzo minimo di trazione in ogni tirante si avrà quando esso sarà disposto nella direzione della forza contraria a P, cioè quando sarà disposto verticalmente; l’angolo compreso fra i tiranti di sospensione sarà allora 0° e lo sforzo di trazione complessivo nei due tiranti sarà uguale al carico P, e quindi in ciascuno di essi sarà uguale a P/2. Il caso è ben diverso, quando uno dei due fili viene teso molto inclinato verso l’alto e l’altro invece viene teso orizzontalmente fig. (*). La maggior parte del carico viene evidentemente sopportato dal filo inclinato, mentre il filo teso orizzontalmente non può quasi neppure essere considerato un filo di sospensione; il carico che esso sopporta è molto ridotto. Su questo argomento ritorneremo più dettagliatamente in seguito.

Abbiamo ora eseguito la scomposizione di una forza di trazione in due forze componenti, pure di trazione. In pratica, nelle costruzioni e particolarmente nelle costruzioni di fabbricati, accade frequentemente di dovere eseguire la scomposizione di una forza di trazione secondo due forze componenti di compressione. Un tale caso rappresentato, ad esempio, nella fig. (*). Ad una trave viene appeso un carico che tende ad inflettere la trave stessa. Perché essa possa resistere il carico viene equilibrato. A tale scopo essa è collegata mediante il ferro piallo E alla saetta verticale H di una capriata. Il carico, trasmesso dalla trave orizzontale alla saetta verticale, la quale agisce sulla trave stessa come forza di trazione, viene quindi sopportato dai due puntoni laterali S₁ ed S₂ ed agisce come forza di compressione alle estremità della trave orizzontale sui due muri laterali. Vediamo, adesso, con un esempio pratico, come si esegue la scomposizione di una forza di trazione in due forze di compressione.

Facciamo un esempio numerico. Ad una capriata semplice è appeso un carico P = 6360 kg. I due puntoni, che debbono sopportare questo carico, sono perpendicolari fra di loro; essi formano quindi con la linea di azione del carico P un angolo di 45° fig. (*). Quale è la grandezza delle due forze componenti di compressione che agiscono sui puntoni? La forza P = 6360 kg deve essere scomposta nelle due componenti S₁ ed S₂, le cui direzioni sono quelle degli assi longitudinali dei puntoni. Per la scala delle forze si stabilisce 1 cm = 2000 kg; la forza P sarà quindi rappresentata da un segmento verticale della lunghezza di (vedi fig.*):

Disegniamo quindi due rette passanti per il punto O, e formanti ciascuna con la direzione di P un angolo di 45°. Dopo di ciò conduciamo, dal punto di estremità del segmento che rappresenta la forza P, le parallele ad S₁ ed S₂. I segmenti O-A ed O-B rappresentano le forze che agiscono sui puntoni S₁ ed S₂.

Misurando tali segmenti troviamo che S₁ = 2,25 cm ed S₂ = 2,25 cm, cioè che le grandezze delle forze componenti sono:

Che le due componenti siano di uguale grandezza, si poteva facilmente prevederlo, dal fatto che i due puntoni sono ugualmente inclinati rispetto alla saetta centrale. Abbiamo dunque visto come si esegue la composizione di due forze in una risultante e come, viceversa, si può scomporre una forza data in due componenti. Se osserviamo con attenzione, si nota certamente che, in ogni caso, la soluzione si ottiene sempre con la costruzione di un parallelogrammo. Il fatto che le forze siano applicate a un punto, piuttosto che un altro, della loro linea di azione non ha nessuna importanza; è, ad esempio, indifferente che la lampada della fig.(*) sia appesa nel punto O, oppure che fra essa ed il punto O sia interposto un lungo filo di sospensione. Gli sforzi di trazione, nei tiranti di sospensione laterali, saranno sempre gli stessi. Per la costruzione del parallelogrammo delle forze è però necessario prolungare le rette di azione delle forze fino ad incontrarsi e quindi riportare sulle rette stesse i segmenti che rappresentano le grandezze delle forze, sempre a partire dal punto di intersezione O. Se ad esempio, al corpo rappresentato con un rettangolo nella fig. (*) sono applicate nel punto A la forza P₁, e nel punto B la forza P₂, e vogliamo trovare la risultante di queste due forze, prolungheremo le rette di azione di P₁ e di P₂ fino al punto di intersezione O, ed a partire da tale punto costruiremo poi il parallelogrammo delle forze fig. (*).

Otterremo in tal modo, in direzione e grandezza, la risultante cercata; il punto di applicazione di tale risultante non dovrà però essere necessariamente il punto di intersezione O. In molti casi tale punto di intersezione O delle linee di azione delle forze è un punto teorico, situato fuori del corpo su cui agiscono le forze fig. (*a). Naturalmente la forza risultante, come anche le forze componenti P₁ e P₂, deve però essere applicata ad un punto materiale del corpo stesso, come, ad esempio, è indicato nella fig. (*b).

Un esempio molto interessante, che dimostra come le forze possano spostarsi a piacere sulle loro rette di azione, è costituito dal comando Voith-Schneider, il quale viene impiegato sulle moderne imbarcazioni, e che permette di muovere l’imbarcazione, non solo in avanti ed all’indietro, ma anche, in caso di bisogno (ad esempio per accostarsi alle banchine in porti molto ristretti), perpendicolarmente all’asse longitudinale dell’imbarcazione. Questi battelli sono provvisti di due eliche a pale inclinabili disposte l’una accanto all’altra, le cui spinte possono essere orientate in ogni direzione. Se, ad esempio, la spinta di una delle eliche agisce sul battello nella direzione e con l’intensità rappresentate nella fig. (*) dal segmento con freccia P₁, e la seconda elica esercita una spinta rappresentata dal segmento con freccia P₂, le due spinte danno luogo ad una forza risultante R, che si determina nel modo prima spiegato: le rette di azione delle spinte trasmesse dalle due eliche vengono prolungate fino ad incontrarsi, ed a partire dal punto di intersezione si costruisce il solito parallelogrammo delle forze. Si vede che la risultante è esattamente diretta in direzione normale all’asse longitudinale del battello; esso si sposterà quindi in direzione trasversale alla normale direzione della rotta.

Dalla fig. (*) si può rilevare che la forza risultante dalla composizione delle due spinte delle eliche è relativamente piccola. Ciò dipende dal seguente motivo. Affinché la forza risultante R non trasmetta al battello alcun momento di rotazione, essa deve essere applicata al centro di gravità del battello stesso. Entrambe le spinte P₁ e P₂, debbono perciò essere dirette in modo, che il punto di intersezione delle loro linee di azione venga a trovarsi il più possibile vicino al centro di gravità del battello, poiché la linea di azione della risultante deve infatti passare per tale punto di intersezione. Poiché le due eliche sono situate molto vicine fra loro, l’una accanto all’altra, l’angolo compreso fra le due linee di azione delle rispettive spinte sarà necessariamente molto grande, e da ciò deriva, come abbiamo detto negli esempi precedenti, che la risultante viene ad essere più piccola di ciascuna delle delle componenti.

Triangoli delle forze

Nelle figg. (*) e (*) sono ancora disegnati i parallelogrammi delle forze, che risultano rispettivamente da una composizione e da una scomposizione di forze. In tali disegni sono rappresentate le forze date con linee a tratto continuo, mentre le forze cercate sono rappresentate con linee a tratti e punti. Per ogni forza sono pure indicate la relativa grandezza espressa in kg, in modo che le figure possono essere comprese senza altre spiegazioni. Dalla geometria sappiamo che, in ogni parallelogrammo, i lati opposti paralleli sono di uguale lunghezza. Si ha quindi che O-B = A-C ed O-A = B-C. Il parallelogrammo viene suddiviso dalla diagonale in due triangoli. Questi triangoli sono uguali, poiché i lati corrispondenti sono uguali (R = R; O-A = B-C; A-C = O-B).

Da ciò constatiamo che, per la composizione e la scomposizione di forze, non è affatto necessario disegnare per intero il parallelogrammo; possiamo ottenere le soluzioni cercate costruendo anche solo i triangoli delle forze, come si vede nelle figg. (*) e (*). Occorre stare bene attenti, nel disegnare tali triangoli, che le frecce indicanti le direzioni delle forze siano giustamente tracciate. È facile comprendere come si debba fare: bisogna semplicemente sommare le forze P₁ e P₂, bisogna cioè aggiungere P₂ a P₁ tenendo però conto che P₁ e P₂ non agiscono nella stessa direzione, ma in direzioni diverse. In tutti i casi, però, l’inizio di un segmento, rappresentante una delle forze, deve coincidere con l’estremità provvista di freccia del segmento rappresentante l’altra forza.

Nelle precedenti pagine abbiamo visto tutta una serie di concetti, nozioni e principi riguardanti la statica e la resistenza dei materiali, particolarmente importanti. Ad esempio il concetto di risultante, le condizioni di equilibrio, il parallelogramma delle forze sono nozioni senza le quali qualsiasi applicazione della statica è assolutamente impossibile. La statica è la scienza che si occupa dell’equilibrio delle forze applicate a corpi in quiete. Quando un corpo non si muove, cioè si trova in stato di quiete, sappiamo che le forze che agiscono sul corpo stesso sono in equilibrio. Ogni corpo è sempre sottoposto alla azione di qualche forza; a sostegno di questa affermazione citiamo un esempio: anche quando una pesante pietra presentante una grande base, è appoggiata inamovibilmente sul terreno, agiscono su di essa due grandi forze che debbono essere in equilibrio fra di loro, e precisamente lo forza di attrazione esercitata dalla Terra, che si manifesta conferendo alla pietra quello che noi diciamo il suo peso, e la forza di reazione dell’appoggio, di uguale grandezza e diretta in senso opposto. Se questa reazione dell’appoggio non fosse di grandezza uguale alla forza costituita dal peso della pietra, non vi sarebbe equilibrio fra le due forze e la pietra si muoverebbe, cioè cesserebbe di essere un “corpo in quiete”. Questo equilibrio delle forze agenti sui corpi in quiete è una legge naturale fondamentale. Da essa possiamo derivare ogni altra legge della statica. Per tale motivo questa scienza è relativamente semplice e facile da capire. Come ci siamo formati il concetto di equilibrio delle forze? Forse ci siamo già posti da soli questa domanda! Per dare una risposta faremo un semplice esempio:

Un dinamometro (o bilancia a molla), fig. (*), è appeso ad un gancio fisso. All’occhiello per l’applicazione del carico leghiamo una corda, e portiamo l’indice del dinamometro esattamente sullo zero della scala graduata; esercitiamo quindi con la mano uno sforzo di trazione sulla corda, cioè applichiamo alla corda una forza verticale diretta verso il basso. Come si usa abitualmente nella statica, questa forza è stata rappresentata nella fig. (*) con una freccia (P). La presenza di forze si riconosce dagli effetti prodotti dalle forze stesse. Nell’esempio di cui ci troviamo di fronte a corpi in quiete (dinamometro e corda) l’effetto delle forze è di natura statica.

Possiamo leggere sulla scala graduata del dinamometro l’effetto statico della forza applicata alla corda; diremo ad esempio, che l’effetto dello forza è quella di un peso di 5 kg. È evidente che anche la molla del dinamometro esercita sulla corda una forza di tale grandezza. L’indicazione di uno sforzo di 5 kg deriva dalla deformazione della molla, cioè dallo sforzo esercitato dalla molla. Perché, possiamo dire che anche la forza P diretta verso il basso è di 5 kg? Si può facilmente rispondere a questa domanda se rinunciamo alla misurazione della forza, se trascuriamo cioè l’indicazione delle bilancia e dedichiamo la nostra attenzione alla mano che esercita sforzo di trazione sulla corda. Questa mano, non solo ha la sensazione diretta della trazione verso il basso, cioè della forza P da essa esercitata, ma anche la sensazione della forza contraria esercitata sulla mano stessa dalla molla del dinamometro, per mezzo della corda. Si ha quindi una sensazione contemporanea della forza e di quella contraria, applicate entrambe in uno stesso punto, e non possiamo immaginarci che esse possano essere di diversa grandezza. Si verifica quindi il principio già enunciato, ovvero: nei corpi in equilibrio ad ogni forza corrisponde una forza uguale e contraria, o, in altre parole, ad una azione corrisponde una reazione opposta. Questo principio vale anche quando su di un corpo in equilibrio agiscono più di due forze, ed in generale, in ogni fenomeno in cui intervengono delle forze.

Osserviamo adesso la fig (*). Essa rappresenta in pianta una grande nave che viene trascinata da due rimorchiatori. Nella figura sono indicati, tanto della nave che dei rimorchiatori, soltanto i contorni ed i punti di applicazione delle forze che agiscono su di essi. Le funi di rimorchio A-B ed A-C sono in realtà più lunghe in rapporto alla lunghezza della nave di quanto indicato in figura, e l’angolo formato dalle funi stesse è più acuto. Questa alterazione dei rapporti fra le lunghezze, e della grandezza degli angoli permette però di rendere più evidente quanto vogliamo mostrare, cioè la composizione delle forze di trazione Z₁ e Z₂ sviluppate dai due rimorchiatori.

Vediamo anzitutto quale è l’effetto di ciascuna delle due forze di trazione Z₁ e Z₂ applicate nel punto A della nave rimorchiata. Seguirà questa la direzione della forza di trazione Z₁ sviluppata dal primo rimorchiatore, o piuttosto la direzione della forza di trazione Z₂ del secondo rimorchiatore? Senza dubbio essa non seguirà alcuna delle due direzioni. Gli effetti delle forze di trazione Z₁ e Z₂ si comporranno nel punto A dando luogo all’effetto di una unica forza, cioè della forza risultante R. La nave subisce quindi l’effetto di una forza che non viene direttamente applicata ad essa, cioè si muove in una direzione nella quale non vi è nessuna fune di rimorchio. Entrambi i rimorchiatori cominceranno a muoversi secondo le linee di azione delle forze Z₁ e Z₂. Potrà però continuare a sussistere lo stato di movimento indicato nella fig. (*)? Per rispondere a questa domanda basterà disegnare la posizione che avranno assunto la nave ed i due rimorchiatori dopo un certo periodo di tempo. Tale posizione è indicata nella fig.(*).

In essa si può osservare anche le posizioni iniziali relative alla nave, già indicate nella fig. (*), ed ora segnata con linea a tratti. I due rimorchiatori hanno proceduto nella direzione dei loro assi longitudinali (i quali inizialmente coincidevano anche con la direzione delle linee di azione delle forze), mentre la nave rimorchiata ha proceduto nella direzione della forza risultante R. In tal modo però l’angolo α compreso fra le funi di rimorchio è diventato più grande, per cui le linee di azione delle forze trasmesse dalle funi Z₁ e Z₂ non coincidono più con gli assi longitudinali e le direzioni di spostamento dei rimorchiatori. La fig. (*) mostra chiaramente che la forza di propulsione S generata dall’elica di un rimorchiatore e la forza di trazione Z trasmessa dalla relativa fune non si trovano più sulla stessa retta. Queste due forze agenti secondo due diverse direzioni danno luogo ad una forza risultante R₁, ed il rimorchiatore si muove nella direzione di questa forza. Questo movimento del rimorchiatore tende però a riportarlo gradualmente nella stessa posizione iniziale di partenza, indicata nella fìg. (*), relativamente alla nave rimorchiata. Questo ciclo si ripete continuamente e se le condizioni di navigazione date dai venti e dalle correnti rimangono costanti, i rimorchiatori possono assumere il movimento di carattere pendolare indicato per uno di essi nella fig.(*). In tale figura si rileva che la forza risultante R₂ agente sul rimorchiatore è situata nella direzione della rotta dell’intero complesso formato dalla nave rimorchiata e dai due rimorchiatori, Questa rotta però è molto labile e non può mantenersi costante per lungo tempo.

Abbiamo esaminato questo esempio in modo molto dettagliato poiché esso mostra in maniera particolarmente chiara come le condizioni di equilibrio statico di un sistema di forze possa variare rapidamente e radicalmente quando varia la direzione di una delle forze. Già abbiamo visto che la risultante di due forze produce gli stessi effetti delle due forze componenti. Questo principio esprime però qualcosa di più di quanto si è constatato nell’esempio precedentemente esposto. Se cioè gli effetti della risultante sono uguali a quelli prodotti dalle singole forze; queste possono essere cancellale dalla figura e sostituite dalla risultante. Dopo di che, invece di considerare due forze, si può considerarne una sola. Come avremo occasione di vedere in seguito si può formare la risultante di un qualsiasi numero di forze agenti su di un corpo, ed il vantaggio che ne risulta è evidente. Non bisogna dimenticare però che la risultante di più forze singole è sempre una forza immaginaria! Ciò risulta particolarmente chiaro osservando la fig. (*), in cui il punto di applicazione della risultante viene a trovarsi esternamente al corpo, cioè in un punto dello spazio circostante.

Ripetiamo adesso la spiegazione del procedimento grafico per la determinazione della risultante di due forze date e quindi della scomposizione di una data forza in due componenti, cioè tracciare il parallelogramma delle forze come abbiamo già visto prima. Ci riferiremo ad un esempio tratto dalla pratica; per parlare ancora del triangolo delle forze, completando però le nozioni che abbiamo visto in precedenza. La fig.(*) rappresenta una semplice gru a bandiera del tipo che si può osservare frequentemente nei cantieri di costruzioni edili. Ad un adatto palo del ponteggio il braccio della gru è imperniato superiormente in un supporto a collare ed inferiormente in un supporto di spinta. Nel sollevamento del carico la fune scorre avvolgendosi sul rullo portante A, viene deviata dal rullo di guida B fino ad un secondo rullo di guida C, dal quale prosegue orizzontalmente fino al tamburo dell’argano a motore. Il carico massimo ammissibile sopportabile dalla gru a bandiera sia 300 kg. Nella fig. (*) questo carico è indicato con P. Nel sollevamento a velocità uniforme del carico P = 300 kg si ha quindi in ogni punto della fune una tensione pure di 300 kg. La tensione nella fune è anche leggermente influenzata dal peso della fune stessa e dall’attrito dei rulli sui loro perni, ma queste due influenze possono essere praticamente trascurate; supporremo perciò che lo sforzo di tensione sia sempre di 300 kg in ogni tratto della fune. Come primo problema ci proponiamo di determinare la forza che agisce nel punto A del braccio triangolare della gru a bandiera. Questa forza viene esercitata dal rullo A e proviene dalla fune, la quale è tesa da un carico di 300 kg.

Nei problemi relativi alla determinazione di forze si deve anzitutto eseguire uno schizzo del corpo al quale sono applicate le forze. Nel primo problema che ci siamo proposti tale corpo è costituita dal rullo A, ed il punto in cui il rullo è sostenuto dal braccio della gru è pure indicato con A. Si determini la forza agente sul rullo e sul punto A. Eseguiamo quindi uno schizzo del rullo portante il carico e del suo supporto d’appoggio fig. (*), ed immaginiamo di tagliare la fune a sinistra ed a destra del rullo, nelle due sezioni I e II (nella fig. * queste due sezioni immaginarie sono state indicate con delle linee ondulate).

Lo scopo dei due supposti sezionamenti è quello di rendere esterne le forze di tensione agenti sul tratto di fune segnato nello schizzo. Prima della esecuzione dei tagli immaginari della fune nei punti I e II, nei punti stessi agivano delle forze interne, ciascuna della grandezza di 300 kg. Queste forze di tensione esercitavano cioè una trazione sul tratto di fune avvolto sul rullo. Queste forze interne vengono ora considerate come forze esterne di trazione applicate alle due sezioni di taglio I e II, e, come tali sono state segnate in figura ed indicate con S₁ ed S₂. Ognuna di esse ha una grandezza di 300 kg, e si può quindi scrivere S₁= S₂= 300 kg. Il procedimento, frequentemente usato in statica, di considerare le forze interne come forze esterne, immaginando di eseguire dei tagli o sezionamenti nel corpo sul quale le forze agiscono, viene appunto detto procedimento di sezionamento. Dobbiamo ora trovare la risultante delle due forze S₁ ed S₂. Questa risultante costituisce la forza cercata agente, attraverso il rullo portante, sul punto A del braccio della gru. In questa operazione di determinazione della risultante consideriamo il tratto di fune ottenuto con gli anzidetti tagli come appartenente al rullo portante, cioè consideriamo il tratto di fune ed il rullo come un unico corpo appoggiato nel punto A. La fig. (*) mostra la composizione delle due forze di trazione S₁ ed S₂ mediante il parallelogramma delle forze. Immaginiamo di trasportare queste due forze, lungo le loro linee di azione, dalle sezioni di taglio I e II fino al punto di intersezione O. Nella fig. (*) le forze sono state rappresentate secondo la scala 1 cm = 100 kg e cioè con dei segmenti della lunghezza di 3 cm, riportati sulle linee di azione a partire dal punto O

Si è quindi costruito il parallelogramma delle forze conducendo dalle estremità di questi segmenti le parallele alle linee di azione delle forze S. La diagonale R_A di questo parallelogramma è la risultante delle due forze S₁ ed S₂. Dalla fig. (*) risulta R_A = 5,4 cm. In base alla scala delle forze prescelta si può quindi calcolare la grandezza in kg della forza R_A; si avrà:

La linea di azione della risultante R_A passa per il punto A del braccio della gru. R_A è quindi la forza cercata agente sul punto A e trasmessa dal rullo. Il braccio della gru risulta caricato da questa forza. Nella fig. (*) abbiamo indicato R_A con un segmento a tratti e punti, disposto nella direzione trovata mediante il parallelogramma delle forze. Risolviamo adesso lo stesso problema mediante il triangolo delle forze, ricordando che in questo caso non è assolutamente necessario disegnare l’intero parallelogramma delle forze per determinare la risultante; ma che basta disegnare il triangolo delle forze stesse. Disegniamo adesso il triangolo formato dai tre segmenti che rappresentano le tre forze considerate nel nostro esempio; la retta di chiusura del triangolo avrà però ora un significato diverso di quello che aveva nel caso spiegato in precedenza. Nella fig. (*) si può osservare che non è stata indicata solamente la forza R_A = 540 kg (con linea a tratti e punti) applicata al punto A del braccio della gru, ma anche la forza uguale e contraria ad R_A (con linea a tratti), pure di grandezza uguale a 540 kg.

Le frecce indicanti le direzioni delle due forze sono naturalmente rivolte in senso opposto. Ricordando infatti che per ogni forza agente su di un corpo vi è sempre anche una forza uguale e contraria. La forza R_A esercitata dal rullo sul braccio della gru e la forza contraria pure di grandezza R_A esercitata dal braccio sul rullo si equilibrano fra di loro nel punto A. Nella fig. (*a) è stato ancora disegnato il parallelogramma già tracciato prima. Adesso però non vogliono sostituire le due forze S₁ ed S₂ con la risultante R_A. Per tale ragione questa è stata indicata solamente con linea sottile a tratti e punti. Le due forze S₁ ed S₂ sono state invece rappresentate con linee continue fortemente marcate e la forza uguale e contraria alla risultante R_A è stata segnata pure con linea di forte spessore, ma a tratti. È stata trasportata la risultante R_A lungo la sua linea di azione, fino a trovarsi applicata nel punto A fig. (*a). Abbiamo cioè sostituito la risultante R_A con le forze S₁ ed S₂, ed inoltre abbiamo indicata nel disegno anche la forza uguale e contraria R_A. Le forze che si equilibrano nel punto A sono ora la risultante R_A e la forza uguale e contraria R_A, oppure le tre forze segnate con linee a forte spessore nella fig. (*a), cioè le tre forze: S₁, S₂ e la forza uguale e contraria R_A. Va notato anche che R_A e la forza uguale e contraria R_A sono di uguale grandezza e che inoltre le forze S₁ ed S₂ producono lo stesso effetto della forza R_A e che quindi le tre forze disegnate con linee di forte spessore sono in equilibrio poiché vale sempre il principio: azione = reazione.

Con le tre forze date dalla fig. (*a) formiamo il triangolo delle forze; possiamo tracciare per prima sia la forza S₂ fig. (*b), oppure la forza S₁ fig. (*c). In ogni caso le forze debbono essere indicate esattamente secondo la loro direzione e secondo la scala prescelta. La seconda forza che viene disegnata ha l’origine nella punta della freccia della prima, in modo che in definitiva le tre frecce indichino tutte uno stesso senso del percorso lungo il perimetro; nella fig. (*c) il senso del percorso perimetrale è quello delle lancette dell’orologio, mentre nella fig. (*b) esso è contrario a quello delle lancette dall’orologio. La terza forza del triangolo, rappresentata dal segmento di chiusura, indica sempre la forza uguale e contraria alle due prime forze. Essa viene ottenuta collegando la punta della freccia dell’ultima forza disegnata con il punto di origine della forza disegnata per prima. Naturalmente in pratica non si disegnano mai tanto il parallelogramma delle forze quanto il triangolo delle forze ma solo uno o l’altro. La differenza fra il parallelogramma delle forze ed il triangolo delle forze non consiste solo in una diversità di disegno, cioè nel fatto che il primo sia costituito da cinque segmenti ed il secondo solo da tre. La differenza è data invece dal fatto che con il parallelogramma delle forze si ottiene la risultante di due forze componenti, oppure, nella scomposizione delle forze, si ottengono le componenti di una data forza; in entrambi i casi si ottengono forze che costituiscono altre forze, cioè che producono gli stessi effetti. Nel triangolo delle forze sono invece rappresentate forze uguali e contrarie, cioè azioni e reazioni. Le forze rappresentate nel triangolo si equilibrano fra di loro! L’effetto complessivo, nel loro punto di applicazione A, delle tre forze rappresentate nella fig. (*) è nullo; esse cioè si annullano fra di loro. Per il triangolo delle forze valgono le seguenti regole:

1.       Nel disegno del triangolo delle forze è indifferente l’ordine in cui vengono considerate le forze applicate ad un punto o ad un corpo.

2.       Le forze debbono essere disegnate disponendole, una dopo l’altra, in modo che le loro frecce indicano un unico senso del percorso lungo il perimetro.

3.       Il triangolo delle forze non viene mai disegnato nella figura principale, ma accanto ad essa, cioè non si rappresenta la prima forza partendo dal suo effettivo, punto di applicazione.

A proposito della terza regola ora esposta si osservando la fig. (*c). Immaginiamo che nel disegno di questo triangolo delle forze si inizi l’esecuzione rappresentando la forza S₁ partendo dal punto A del braccio della gru fig. (*). Quindi la forza S₂ dovrebbe essere spostata parallelamente a se stessa, in modo da passare per A. Ciò sarebbe completamente errato. Ricordiamo quindi ancora che i triangoli delle forze non debbono mai essere disegnati nella figura principale.

Inizialmente ci eravamo proposti di risolvere il problema di determinare la forza esercitata dal rullo portante la fune sul punto A del braccio della gru. Il risultato trovato è questo: R_A =540 kg la direzione secondo cui agisce la forza è quella indicata nella fig. (*). Se per la soluzione di questo problema parziale ci fossimo serviti solo del triangolo delle forze, ad esempio come indicato nella fig. (*c), si sarebbe dovuto tenere presente quanto segue: il triangolo delle forze rappresentato nella fig. (*c) indica la forza uguale e contraria o reazione R_A del braccio della gru. Il problema posto richiede invece la determinazione della forza esercitata dal rullo sul braccio. Nel triangolo delle forze si deve quindi invertire il senso della freccia, cioè disegnare la forza, come rappresentato nella fig. (*) con linea a tratti e punti. Continuiamo con gli altri problemi che si presentano per la determinazione delle forze agenti nelle varie strutture dei bracci della gru. Sul puntone inclinato del braccio della gru a bandiera fig. (*) è montato il rullo deviatore B. La fune, tesa con una forza S = 300 kg, agisce su questo rullo caricando quindi in tal modo il puntone e perciò l’intero braccio della gru. Mediante il metodo del triangolo delle forze, cioè graficamente, si determini la forza esercitata dal rullo nel punto B sul braccio della gru.

Dalla fig. (*) risulta  R_B =2,66 cm. In base alla scala delle forze prescelta si può quindi calcolare la grandezza in kg della forza R_B; si avrà: 

Proseguiamo con il rilevare quali forze vengono generate nelle aste o e d della gru a bandiera dalla forza R_A applicata al punto della gru stessa? Vogliamo per adesso determinare solo l’influenza della forza R_A = 540 kg, già determinata in precedenza. Non considereremo cioè inizialmente l’influenza della forza applicata nel punto B, dello schema statico fig. (*).

Nella figura (*) è stata rappresentata con una freccia la reazione R_A = 540 kg nella scala delle forze 1 cm = 200 kg.

La gru a bandiera è imperniata in E ed F. I supporti in tali punti esercitano sulla gru a bandiera delle forze di reazione che la tengono in equilibrio quando essa viene comunque caricata; queste forze di reazione non intervengono però nella soluzione del problema ora posto. Prima di iniziare la vera e propria risoluzione del problema dobbiamo richiamare l’attenzione su di una circostanza molto importante: se si osserva attentamente la fig. (*) si vede che alle estremità delle aste o e d sono segnati dei piccoli cerchietti che vogliono rappresentare dei cerchi immaginari di raggio uguale a 0. Essi raffigurano delle cerniere, pure immaginarie, con le quali pensiamo che le aste siano collegate fra di loro a snodo. In realtà le estremità delle aste della gru a bandiera sono saldate o chiodate con dei fazzoletti di lamiera, per cui non si hanno dei collegamenti a snodo, ma dei collegamenti ad incastro; nella statica si suppone però che le aste siano collegate a snodo. Spieghiamo adesso la ragione di questo.

Quando due aste sono collegate da uno snodo o cerniera, attraverso tale collegamento non si possono trasmettere degli sforzi di flessione, ma solo delle forze di trazione o compressione, (in seguito parleremo dell’inflessione che possono subire le aste lunghe e sottili sottoposte ad un carico di compressione, cioè nel cosiddetto caso del carico di punta). Per comprendere esattamente questo fatto basta eseguire la seguente semplice prova: si colleghino due aste con un solo chiodo (A), in modo che esse possano ruotare a snodo intorno al chiodo stesso. L’estremità libera di una delle aste venga quindi fissata a snodo ad una trave, mediante un secondo chiodo (E) fig. (*). Se si vuole trasmettere una forza P applicata alla estremità ancora libera (F), attraverso le due aste o e d, alla trave fissa, bisognerà che la linea d’azione di questa forza si trovi sulla retta congiungente A con E, cioè coincida con gli assi delle due aste. Ciò però accade solo nel caso che la forza applicata sia una semplice forza di trazione o di compressione.

Se la forza P non agisce in direzione dell’asse dell’asta o, ma ad esempio verticalmente, verso il basso, fig. (*), essa non potrebbe agire in nessun modo sulla trave poiché le aste o e d ruoterebbero semplicemente attorno ai loro snodi. Se però, nel punto E, infiggendo un secondo chiodo, realizziamo, invece dello snodo, un collegamento ad incastro, la forza P eserciterebbe sull’asta o un momento flettente che verrebbe trasmesso alla trave. Nell’asta d si avrebbe però sempre solo uno sforzo di trazione o compressione, poiché il collegamento in A è rimasto un collegamento a snodo o cerniera fig. (*). Se nel modello sperimentale estraiamo il secondo chiodo infisso nel punto nodale E, se cioè ripristiniamo l’originario snodo, e fissiamo poi a snodo, con un chiodo, anche l’estremità F dell’asta d alla trave (figura *), otteniamo il modello schematico della struttura della gru a bandiera, come viene considerata nei calcoli statici.

Malgrado i collegamenti a snodo nei punti A, E ed F, il telaio triangolare è rigido od indeformabile. Gli snodi hanno però l’utile funzione di fare si che nelle aste si generino solo degli sforzi di trazione o compressione anche quando i carichi esterni sono comunque diretti non secondo gli assi longitudinali delle aste.

Se nelle costruzioni a traliccio (carpenterie) tutti i punti nodali, o più semplicemente nodi (come vengono chiamati nella statica i punti in cui concorrono due o più assi) venissero materializzati con delle cerniere, le costruzioni riuscirebbero troppo costose, come si può facilmente immaginare. Le cerniere effettive vengono quindi adoperate solo in casi speciali. Di solito i nodi vengono realizzati, come abbiamo già accennato, con collegamenti mediante saldature o chiodature. Questi sistemi di collegamento danno però luogo ad una sollecitazione secondaria di flessione nelle aste. Essa è però relativamente piccola e per tale ragione, nelle strutture a traliccio o reticolari, come quella della gru a bandiera, viene trascurata. In altre parole, si considerano tali strutture reticolari come strutture a traliccio con nodi a cerniera. In quanto segue supporremo quindi sempre che alle estremità delle aste o e d si abbiano delle cerniere reali. Le aste risulteranno quindi sollecitate come rappresentato nella figura (*). Nel caso che un’asta sia sollecitata a trazione sulle sue estremità agiscono delle forze che tendono ad allungarla; nel caso di sollecitazione a compressione, alle estremità dell’asta agiscono delle forze che tendono ad accorciarla fig. (*).

Le linee di azione delle due forze coincidono in entrambi i casi con l’asse longitudinale dell’asta. Le due forze sono inoltre di uguale grandezza e mantengono l’asta in equilibrio, poiché rappresentano una forza e la sua reazione uguale e contraria. Ciò premesso torniamo all’esempio e consideriamo il punto A nella fig. (*).

Le due aste o e d impediscono che tale punto si sposti sotto l’azione del carico R_A = 540 kg. Immaginiamo adesso di sezionare l’asta d, come rappresentato nella fig. (*); il punto A si muoverebbe allora nella direzione indicata dalla freccia b. Immaginiamo quindi di sezionare l’asta o fig. (*); in tal caso il punto A si muoverebbe nel senso indicato dalla freccia c.

Da questi due movimenti che si avrebbero in seguito ai supposti sezionamenti delle aste possiamo facilmente dedurre il tipo delle sollecitazioni che si hanno effettivamente nelle aste o e d fig. (*): per impedire il movimento del punto A secondo la freccia b l’asta d deve premere contro A nella direzione del suo asse longitudinale, cioè esercitare una forza D diretta verso l’alto e verso destra fig. (*). Ciò significa che l’asta d è soggetta ad una sollecitazione di compressione. Per impedire il movimento nel senso della freccia c del punto A l’asta o deve esercitare uno sforzo di trazione orizzontale, verso sinistra, sul punto A (forza O nella figura (*). Ciò significa che l’asta o è soggetta ad una sollecitazione di trazione.

Gli sforzi adesso determinati esercitati dalle aste o e d, e rappresentati nelle fig. (*) agiscono insieme al carico esterno R_A sul punto A e si annullano a vicenda, poiché il punto A è in equilibrio, o più brevemente, le tre forze sono in equilibrio fra di loro, secondo la legge della statica che già conosciamo. Per determinare queste due forze incognite O e D, disegniamo il triangolo delle forze agenti sul punto A. Stabiliamo anzitutto la scala delle forze 1 cm = 100 kg, invece che 1 cm = 200 kg, come indicato nella fig. (*). Come già sappiamo, nel costruire il triangolo delle forze queste possono essere disegnate in qualsiasi ordine. Conviene però disegnare anzitutto la forza data, esterna, cioè nel nostro caso la forza R_A = 540 kg. Di questa forza conosciamo tutte le caratteristiche, cioè la grandezza, la direzione ed il senso. Tracciamo quindi una parallela alla linea di azione di R_A. Su questa retta riportiamo un segmento rappresentante, nella scala 1 cm = 100 kg, la forza di 540 kg. Il segmento riportato avrà la lunghezza di 5,4 cm = 54 mm. Il punto iniziale di R_A viene individuato con un piccolo cerchietto, mentre il punto estremo viene contrassegnato con una freccia. Dobbiamo ora disegnare le due forze O e D esercitate dalle due aste e che fanno equilibrio alla forza R_A. Di esse per ora non conosciamo che le direzioni delle rispettive linee di azione. Esse sono parallele agli assi longitudinali delle aste o e d, e si possono quindi rilevare dalla figura della gru a bandiera. Per mezzo di due squadre disegniamo quindi una parallela ad o passante per la punta della freccia di R_A ed una parallela a d passante per il punto iniziale di R_A. In tal modo il triangolo delle forze viene chiuso. Le frecce che indicano le direzioni delle forze O e D vengono segnate secondo il principio della statica secondo il quale le frecce di direzione in ogni triangolo delle forze debbono indicare tutte uno stesso senso del percorso lungo il perimetro del triangolo. In questo caso questo senso di percorso è già stabilito dalla freccia della forza R_A. La forza O agisce quindi verso sinistra e la forza D verso destra e verso l’alto.

Vediamo adesso di conoscere i valori numerici dei risultati della terza parte dell’esempio ora risolto graficamente. Il triangolo delle forze disegnato per ultimo si riferisce al punto A della gru. Esso definisce le forze che agiscono sul punto stesso. L’asta O esercita, come risulta dalla freccia di cui è provvisto il Iato O, una forza diretta verso sinistra, a partire dal punto A, cioè essa è un’asta sollecitata a trazione o, come si dice, un “tirante”. L’asta d invece preme verso destra e verso l’alto contro A, poiché la freccia del Iato D è diretta in tale senso. L’asta d è quindi un’asta soggetta a compressione o, come si dice, un “puntone”. Dalla lunghezza dei lati del triangolo delle forze, si può calcolare, in base alla scala prestabilita, il valore in kg delle singole forze:

O = + 340 kg (trazione);

D = – 720 kg (compressione).

Facciamo delle semplici considerazioni:

1)       I numeri che indicano la grandezza in kg delle forze esercitate dalle aste, debbono essere sempre preceduti dal segno + o dal segno -. Il segno + indica una forza positiva, cioè una forza di trazione, mentre il segno – indica una forza negativa, cioè una forza di compressione.

2)       Nel triangolo delle forze disegnato nella fig.(*) le forze sono state rappresentate nell’ordine: R_A, O, D. Poiché l’ordine con cui vengono rappresentate le forze nel triangolo può essere scelto a piacere, la parallela alla linea di azione D avrebbe potuto essere condotta anche per il punto di estremità di R_A e la parallela alla linea di azione di O per il punto iniziale o di origine di R_A. Le forze sarebbero quindi risultate disegnate nell’ordine: R_A, D, O.

La semplice gru a bandiera considerata nell’esempio svolto fino a questo momento è costituita da tre sbarre di profilati, le quali formano un triangolo chiuso. In pratica capiterà di trovare spesso strutture portanti che si possono rappresentare schematicamente, per i calcoli statici, con dei triangoli in quando non tutti i lati del triangolo sono costituiti da aste effettive. Facciamo un esempio pratico in cui si verifica un tale caso. Per sostenere, sollevare e movimentare grandi pesi, si è installata una trave orizzontale in profilato IPE 200 a 3,00 m sopra il pavimento fig. (*).

Sulle ali inferiori di questa trave scorre un piccolo carrello spostabile. A questo carrello è appeso un normale paranco a vite senza fine, della portata di 1000 kg. Il carrello ed il paranco, comprese la fune e la carrucola inferiore, pesano complessivamente 75 kg. Il tratto di trave IPE 200 prolungatosi al di fuori del muro è fissato con delle viti ai due profilati UPN 240 che costituiscono un architrave di detto muro. L’estremità destra della trave IPE 200 è sostenuta da un tirante z costituito da una sbarra tonda di acciaio, inclinato di 30° sulla trave stessa ed ancorato alla parete esterna. Questo tirante è costituito da due tratti collegati da un tenditore per mezzo del quale può essere teso in modo che la trave IPE 200 risulti perfettamente orizzontale. Per impedire movimenti in senso laterale la trave è assicurata con due altri tiranti w, pure costituiti da tondi di acciaio, fissali con speciali attacchi in B sulla trave ed alle ali superiori dei laminati UPN 240, così da assumere una posizione inclinata. La trave IPE 200 ed il tirante z formano insieme con la parete esterna una struttura portante stabile analoga, dal punto di vista statico, alla gru a bandiera considerata nel precedente esempio. Quindi risolviamo il problema di determinare graficamente la grandezza della forza Z che deve sopportare il tirante z nel caso più sfavorevole, cioè quando il carrello porta paranco si trova nella posizione più vicina all’estremità della trave fig. (*) ed al paranco è appeso il carico massimo di 1000 kg. Le due aste della struttura portante e cioè la trave IPE 200 ed il tirante z si intersecano con i loro assi (mezzerie od assi baricentrici) nel punto A. Il peso portato dalla trave nel caso più sfavorevole è costituito dal carico massimo di 1000 kg, dal peso del carrello e del paranco completo, complessivamente di 75 kg e dal peso dell’uomo che manovra il paranco, il quale talvolta deve manovrare la fune con una forza precisamente uguale al peso della sua persona. Se supponiamo questo peso uguale a 85 kg, il carico totale portato dalla trave sarà (1000 + 75 + 85) kg = 1160 kg. Questo peso complessivo non è però applicato esattamente nel punto A come succedeva per la forza R_A, applicata alla gru a bandiera, perché il carrello porta paranco non può scorrere fino al punto A. Per tale ragione il peso di 1160 kg si suddivide fra i due punti A e B nella stessa proporzione delle distanze rispettivamente di 1,80 m e 0,45 m rispetto alla distanza totale di 2,25 m fra i punti stessi. Sul punto A viene a gravare un peso di

Aggiungiamo a tale peso anche la metà del peso proprio della trave, oltre al peso degli attacchi e delle piastre di collegamento chiodati in corrispondenza al punto A; in definitiva potremo considerare applicato al punto A un peso massimo di 1000 kg. Conoscendo questo peso P = 1000 kg e le direzioni A-C ed A-D degli assi delle due aste si può ora disegnare il triangolo delle forze agenti sul punto A. Stabilita a tale scopo la scala delle forze 1 cm = 200 kg, si esegue il disegno il più esattamente possibile e sul lato che rappresenta la forza esercitata dal tirante z si scrive (il valore calcolato in kg nella forma Z = + ….. kg (forza di trazione).

Che cosa si nota nel triangolo per potere dire che Z è una forza di trazione? Quando si disegna la freccia del lato Z secondo la regola nota si constata che essa si trova all’estremità coincidente con il punto A dell’asta z, nella figura principale della struttura, si può notare che questa freccia indica una direzione che si allontana dal punto A e che quindi l’asta z è sollecitata a trazione.

Riprendiamo l’esempio esaminato innanzi della gru a bandiera e risolviamo graficamente un altro problema riguardante sempre la stessa gru a bandiera rappresentata nella fig. (*). Il problema consiste nel determinare le reazioni degli appoggi, che in questo caso vengono più propriamente dette reazioni dei supporti. Come per le travi su due appoggi, per reazioni dei supporti intendiamo le forze esercitate dai supporti; uguali e contrarie a quelle applicate ad essi; nel caso considerato diremo anche che le reazioni dei supporti sono le forze che fanno equilibrio ai carichi applicati alla gru a bandiera. La prima domanda che dobbiamo porre è quindi: quali carichi agiscono sulla gru a bandiera? Ciò si rileva nel migliore modo dalla fig. (*). In essa il carico di 300 kg applicato al gancio della fune è già stato indicato come una forza (S₁). Si immagina che al di sotto di B la fune sia tagliata e che la forza di tensione S₂, pure di 300 kg, agente nella fune stessa, sia resa libera; essa viene cioè considerata come una forza esterna, e come tale indicata con una freccia. Sulla gru a bandiera agiscono quindi due forze parallele, verticali e dirette verso il basso, ciascuna uguale a 300 kg. Trascuriamo ancora il peso proprio della gru a bandiera, il quale grava naturalmente; anche sui supporti. Le forze esterne agenti sulla gru a bandiera, prescindendo per il momento dalle reazioni dei supporti, sono quindi solo due, ciascuna di 300 kg. Tutte le altre forze, di cui abbiamo parlato a proposito della stessa gru a bandiera, sono ora da considerarsi forze interne. La forza R_A agisce fra il rullo A e l’intelaiatura della gru, ed analogamente la forza R_B, applicata nel punto B agisce fra il rullo B e l’intelaiatura, mentre la forza di tensione della fune S₂, agisce nel tratto di fune fra i due rulli, e le forze O e D agiscono nelle aste del telaio. L’intero sistema però, costituito dal tratto di fune scorrente sui rulli, dai rulli stessi e dal telaio, è sottoposto alle sole forze esterne S1 = S3 = 300 kg ed alle due reazioni dei supporti. Queste quattro forze sono fra di loro in equilibrio. Per rendere ancora più chiara la circostanza che le forze interne del sistema non intervengono nell’anzidetto equilibrio, nella fig. (*) abbiamo tratteggiato il disegno del sistema stesso in modo da farlo, apparire come un solo corpo rigido massiccio. Questo corpo viene tenuto lo equilibrio dalle quattro forze prima specificate. In questa rappresentazione le reazioni degli appoggi E ed F sono state indicate arbitrariamente.

Il problema che ci troviamo di fronte è quindi quello di determinare due delle quattro forze esterne in equilibrio, che agiscono su un corpo. I problemi della statica si possono spesso semplificare con dei semplici, ma ben studiati accorgimenti. I due carichi S₁ = 300 kg ed S₃ = 300 kg sono della stessa grandezza ed inoltre sono entrambi verticali e diretti verso il basso. Questi due carichi si possono comporre in una risultante senza dovere eseguire dei calcoli, ma disegnando senz’altro la risultante stessa. Una risultante è infatti, come è noto, la forza che, dal punto di visto della statica, può sostituire le forze da cui viene composta; essa deve cioè produrre da sola gli stessi effetti prodotti dalle altre singole forze messe assieme. Nel caso delle forze S₁ ed S₃ agiscono entrambe verso il basso, con una intensità complessiva di 600 kg. Avremo quindi R = 600 kg. Dove sarà situata la linea di azione delle forze S₁ ed S₃? Ciò risulta evidente osservando il giogo di una bilancia rappresentato schematicamente nella fig. (*), alle cui estremità sono applicati due pesi di 300 kg ciascuno. Questo giogo rimane in equilibrio se l’asse di rotazione (l’appoggio A) è situato fra le due linee di azione dei carichi, ad uguali distanze da esse. L’azione complessiva esercitata dai due carichi sull’appoggio è R = 600 kg, ed in tale punto la forza R esercita, rispetto a qualsiasi centro di rotazione, uno stesso momento statico di quello esercitato insieme dai due carichi.

Ciò avviene ad esempio rispetto allo stesso punto di appoggio A:

infatti i momenti statici di rotazione

sono di uguale grandezza, ma in senso opposto, ed insieme danno quindi luogo ad un momento nullo, come la risultante R, in quanto la distanza di questa dal punto A è nulla e quindi è nullo il momento della forza stessa rispetto a tale punto. Anche se questa dimostrazione può apparire superflua, data la semplicità di quanto si voleva dimostrare, occorre però imparare ad esporla. Detto ciò continuiamo lo svolgimento del problema che ci siamo proposti e disegniamo le due forze S₁ ed S₃ = 300 kg applicate alle due estremità verticali della fune. Come scala delle forze consideriamo 1 cm = 200 kg. Disegniamo quindi la linea di azione della forza R a distanze esattamente uguali dalle linee di azione delle forze S₁ ed S₃, cioè la retta verticale passante per un punto equidistante da S₁ ed S₃. A tale scopo possiamo congiungere i punti A e B e quindi dividere per metà il segmento A-B. Per il punto di suddivisione tracciamo quindi la parallela ad S₁ ed S₃. Questa retta è la linea di azione di R, sulla quale possiamo segnare in una qualsiasi posizione un segmento che rappresenta, nella scala prefissata, la forza R, cioè R = 600 kg = 3 cm.

Sulla gru a bandiera agiscono ora solo le tre forze esterne R, E ed F. La risultante R deve fare equilibrio alle due reazioni dei supporti E ed F, per cui occorre indicare sul disegno i punti in cui sono situati i supporti. Ciò viene effettuato con dei cerchietti. Tali punti sono situati ciascuno a 0,08 cm dai nodi del telaio della gru; nella scala 1 : 20 questa distanza corrisponde a 4 mm. I supporti possono essere rappresentati schematicamente fuori scala. Bisogna fare attenzione anche al fatto che le forze sono rappresentate nella scala 1 cm = 200 kg. Contraddistingueremo il supporto superiore (schematizzato in un punto) con E e quello inferiore con F, e chiameremo pure rispettivamente con E ed F le reazioni che si hanno nei due supporti, come è già stato fatto nella fig.(*). Come troviamo adesso le linee di azione di queste reazioni dei supporti, senza le quali non possiamo disegnare il triangolo delle forze R, E ed F ? Per rispondere bastano le due seguenti semplici considerazioni:

1)       La linea di azione della reazione E è orizzontale, in quanto E è un supporto radiale nel quale il perno può scorrere verso l’alto e verso il basso. Di ogni forza diretta obliquamente rispetto alla mezzeria del supporto, solo la componente perpendicolare alla mezzeria stessa viene equilibrata dalla reazione del supporto. Quest’ultima è quindi una retta orizzontale, poiché la mezzeria del supporto è verticale. Bisogna tracciate quindi, a tratto continuo sottile, una retta passante per il punto E e parallela all’asta o del telaio della gru a bandiera; questa retta è la linea di azione della reazione E. Prolunghiamo questa retta a piacere, verso sinistra e verso destra.

2)       Nell’esempio finora svolto per la costruzione dei triangoli delle forze, queste agivano sempre in uno stesso punto della struttura portante considerata. Cosi, ad esempio le tre forze R_A, O (agente nell’asta o) e D (agente nell’asta d), si equilibravano nel punto A (nodo della struttura reticolare della gru); Ciò avviene in modo del tutto naturale, poiché le aste che concorrono nei nodi della struttura reticolare trasmettono solo forze di trazione e di compressione, cioè forze agenti nella direzione degli assi delle aste.

In forma schematica nella fig. (*) mostriamo ancora quanto abbiamo dello: un carico P è in equilibrio con due forze O e D agenti nelle aste di una struttura reticolare, incontrantisi in un punto A. Il triangolo delle forze P, O e D disegnato accanto allo schema della struttura vale per il punto A. Non possiamo però spostare senz’altro il carico P parallelamente a se stesso da A in B, come abbiamo indicato in fig. (*) con una linea a tratti. Ciò darebbe luogo ad una variazione delle forze O e D agenti nelle aste, ed il triangolo delle forze non sarebbe più valido. Per quale ragione succede questo?

Per mostrare questo fatto, nella fig.(*) abbiamo composto le forze O e D nella risultante R. A tale scopo la forza D ha dovuto essere spostata sulla sua linea di azione. La forza R sostituisce quindi ora le forze O e D. Questa risultante è però in equilibrio con la forza P’ spostata in B? Ciò avverrebbe se P fosse ancora applicata in A. Ora invece R forma con la forza P’ una coppia di forze, il cui momento statico è  P’. a, e questo è ciò che dà luogo ad una variazione delle forze che agiscono nelle aste della struttura.

Non è quindi lecito spostare arbitrariamente e parallelamente a se stessa una delle tre forze che si equilibrano, dal comune punto di intersezione (A). Occorre invece tener conto della seguente regola:

Tre forze si trovano in equilibrio quando le loro linee di azione si intersecano in un punto ed il triangolo delle forze stesse si chiude.

Applichiamo subito questo importante principio per mettere in equilibrio la risultante R dei carichi S₁ ed S₃ con le reazioni E ed F ancora incognite. Queste due linee di azione si intersecano in un punto G. La linea di azione della terza forza F deve, secondo la regola sopra esposta passare per il punto di intersezione G. Non ci deve confondere il fatto che G non sia un nodo di una struttura reticolare portante, ma un punto nello spazio. L’intera struttura portante si comporta come un unico corpo rigido e G può essere un punto di questo corpo, se immaginiamo di ingrandire il corpo stesso fino a comprendere il punto G. Colleghiamo quindi i punti F e G con una retta. La retta F-G è precisamente la linea di azione della reazione del supporto F. Solo dopo aver trovato anche questa linea di azione è possibile disegnare il triangolo delle tre forze R, E ed F. Qui si indica solo brevemente l’esecuzione del disegno che riportiamo:

Va rappresentata la forza R = 600 kg con un segmento verticale usando la scala 1 cm = 200 kg; si conduce quindi, per il punto di estremità di R, una parallela ad E-G ed un’altra ad F-G per il punto iniziale di R, cosi da formare il triangolo delle forze. Dopo ciò si indicano con delle frecce le direzioni delle forze reazioni dei supporti, e si contraddistinguono con le lettere E ed F fig. (*). I risultati sono: E = 375 kg, direzione della freccia verso sinistra; F = 710 kg, direzione della freccia verso destra e verso l’alto.